Limit dan Kekontinuan pada Materi Kalkulus

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik.

Ilustrasi:

 

Dari tabel dan grafik: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x # 1

Notasi:\(\lim_{x \to1 }f(x)=3\)

 

Definisi [Limit fungsi di suatu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis \(\lim_{x \to a }f(x)=L\)
Apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x # a.

 

Kasus-kasus Limit yang Sama
Ketiga kasus di bawah ini memberikan limit yang sama, yaitu  \(\lim_{x \to a }f(x)=L\)

 

 

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau  kanan

Ilustrasi:

Diketahui: f (x) = [[x]], x anggota dari 2 [-1, 2)

 

Dari grafik:

 

1) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x # 0.

Notasi: \(\lim_{x \to 0^{-} }f(x)=-1\)

 

2) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x # 0.

Notasi: \(\lim_{x \to 0^{+} }f(x)=-1\)

 

 

Definisi [limit kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f (x) ketika x mendekati a (limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis
\(\lim_{x \to a^{+} }f(x)=L\) apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a.

 

Definisi [limit kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f (x) ketika x mendekati a (limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis
\(\lim_{x \to a^{-} }f(x)=L\) apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a.

\(\lim_{x to a }f(x)=L\) jika dan hanya jika  \(\lim_{x \to a^{+} }f(x)=L=\lim_{x \to a^{-} }f(x)\)

 

 

Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik

Ilustrasi:

Diketahui:  \(\frac{1}{x^{2}}\)

 

 

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi:  \(\lim_{x \to 0 }f(x)=\infty\)

Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan  \(\infty\), ditulis \(\lim_{x \to a }f(x)=\infty\)
apabila nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x # a.

 

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan \(\infty\) adalah f(x) –> \(\infty\) bila x–> a

 

Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = – 1/x^2

 

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi: \(\lim_{x \to 0 }f(x)= – \infty\)

 

Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan \(- \infty\), ditulis
\(\lim_{x \to a }f(x)=- \infty\) apabila nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a tetapi x # a.

 

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan \(- \infty\) adalah f(x) –> \(- \infty\) bila x–> a

 

Definisi serupa dapat diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit \(\lim_{x \to a }f(x)\) dan \(\lim_{x \to a }g(x)\)

ada, maka :

 

 

 

 

 

 

 

 

Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam daerah asal f, maka  \(\lim_{x \to a }f(x)=f(a)\)

 

 

Jika f (x) ≤ g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka

\(\lim_{x \to a }f(x)leqslant \lim_{x \to a }g(x)\).

 

 

Teorema Apit
Teorema
Jika f (x) ≤ g (x) ≤ h (x)pada waktu x dekat a
(kecuali mungkin di a)
dan \(\lim_{x \to a }f(x)=L= \lim_{x \to a }h(x),\), maka \(\lim_{x \to a }g(x)=L\).

 

 

 

Definisi [Kekontinuan di satu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila  \(\lim_{x \to a }f(x)= f(a)\)

 

Catatan:

 

 

 

 

 

 

 

Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:

1) f + g

2) f – g

3) cf

4) fg

5) f/g jika g(a) # 0

 

 

Jika f kontinu pada b dan \(\lim_{x \to a }g(x)= b\), maka \(\lim_{x \to a }f(g(x))= f(\lim_{x \to a }g(x))\).

 

Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f o g kontinu pada a.

 

 

Definisi [Kontinu kiri]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila
\(\lim_{x \to a^{-} }f(x)= f(a)\)

 

Definisi [Kontinu kanan]
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila \(\lim_{x \to a^{+} }f(x)= f(a)\)

 

Definisi [Kekontinuan pada interval]

 

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N adalah bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c anggota dari (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N.

 

 

 

1)    Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval.

2)    Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval.

3)    Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval.