Apa itu Fungsi komposisi dan invers ? Fungsi komposisi adalah operasi dalam matematika di mana dua fungsi atau lebih digabungkan untuk membentuk fungsi baru. Secara sederhana, fungsi komposisi adalah menggabungkan beberapa fungsi menjadi satu fungsi. Jika ada fungsi f(x) dan g(x), maka fungsi komposisi (f o g)(x) berarti memasukkan fungsi g(x) ke dalam fungsi f(x), sehingga menjadi f(g(x)).
Fungsi invers adalah fungsi yang mengembalikan suatu nilai ke nilai asalnya sebelum fungsi tersebut diaplikasikan. Secara sederhana, jika f(x) adalah suatu fungsi, maka fungsi invers (dilambangkan dengan f⁻¹(x)) adalah fungsi yang, ketika diaplikasikan pada hasil dari f(x), akan menghasilkan kembali x. Fungsi invers hanya ada jika fungsi asalnya, f(x), merupakan fungsi bijektif.
Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang “6 Soal dan Penyelesaian Fungsi Komposisi dan Invers Kelas 10“. Berikut ini contoh soalnya.
SOAL 1
Diketahui f(x)=x²-4x+6 dan g(x)=2x+3. Fungsi komposisi (fog)(x) adalah
JAWABAN:
f(x)=x²-4x+6
g(x)=2x+3
(fog)(x)=f(g(x))
f(g(x))=f(2x+3)
=(2x+3)^2 – 4(2x+3) + 6
=(2x+3)(2x+3) – 8x – 12 + 6
= 4x² + 12x + 9 – 8x – 12 + 6
= 4x² + 4x +3
Jadi, (fog)(x)= 4x² + 4x +3
SOAL 2
Diketahui fungsi f(x)=x²+2 dan g(x)=x-4, nilai fungsi komposisi (fog)(2) adalah…
JAWABAN:
f(x)=x²+2
g(x)=x-4
(fog)(2) = ??
(fog)(x)=f(g(x))
f(g(x))=f(x-4)
= (x-4)² + 2
= (x-4)(x-4) + 2
= x² – 8x + 16 + 2
= x² – 8x + 18
Dengan demikian
(fog)(2) = 2² – 8(2) + 18
= 4 – 16 + 18
= 6
SOAL 3
Diketahui fungsi f:R→R dan g:R→R dengan g(x)=3x+1 dan (gof)(x)=9x²+6x+7. Nilai f(2) adalah…
JAWABAN:
(gof)(x)=g(f(x))
9x²+6x+7=g(f(x))
9x²+6x+7 = 3f(x) + 1
3f(x) = 9x²+6x+7-1
3f(x)= 9x²+6x+6
f(x)=3x²+2x+2
dengan demikian
f(2) = 3(2²) + 2(2) + 2
=12+4+2
=18
SOAL 4
Diketahui fungsi f:R→R dan g:R→R didefinisikan dengan
f(x)=(5x+2)/(3x-1),x≠1/3
dan g(x)=2x-1. Nilai dari (gof)⁻¹ (2) adalah…
JAWABAN:
(gof)⁻¹ (x)=f⁻¹(g⁻¹(x))
* f⁻¹(x)
f⁻¹ (x)=(-dx+b)/(cx-a)
Dari soal diketahui:
a=5, b=2, c=3, d=-1 maka
f⁻¹ (x)=(x+2)/(3x-5)
*g⁻¹(x)
g⁻¹ (x)=$((x-b)/a)^{1/n})$
Dari soal diketahui:
a=2, b=-1 maka
g⁻¹ (x)=(x+1)/2
Sehingga
f⁻¹ (g⁻¹ (x))
=(((x+1)/2)+2)/(3((x+1)/2)-5)
=(((x+5)/2))/(((3x+3)/2)-5)
=(((x+5)/2))/( (3x-7)/2)
=(x+5)/(3x-7)
Dengan demikian
(gof)⁻¹ (2)=(2+5)/(3(2)-7)=-7
SOAL 5
Diketahui fungsi f:R→R dan g:R→R didefinisikan dengan
(fog)(x)=(3x+1)/(2x-1),x≠1/2
dan g(x)=2x+2. Tentukan nilai f(2)!
JAWABAN:
(fog)(x)=(3x+1)/(2x-1)
f(g(x))=(3x+1)/(2x-1)
f(2x+2)=(3x+1)/(2x-1)
Misalkan
2x+2=a
2x=a-2
x=(a-2)/2
f(a)=(3((a-2)/2)+1)/(2((a-2)/2)-1)=(3a-4)/(2a-6)
Dengan demikian
f(2)= (3(2)-4)/(2(2)-6)=2/(-2)=-1
SOAL 6
Diketahui fungsi f:R→R dan g:R→R didefinisikan dengan
(g)(x)=(2x+1)/(x-1),x≠1
Dan f(x)=2x-3. Invers dari (gof)⁻¹(x) adalah…
JAWABAN:
(gof)⁻¹ (x)=f⁻¹(g⁻¹(x))
* f⁻¹(x)
f⁻¹ (x)=$((x-b)/a)^{1/n}$
Dari soal diketahui:
a=2, b=-3 dan n=1 maka
f⁻¹ (x)=(x+3)/2
*g⁻¹(x)
g⁻¹ (x)=(-dx+b)/(cx-a)
Dari soal diketahui:
a=2, b=1, c=1 dan d=-1 maka
g⁻¹ (x)=(x+1)/(x-2)
Sehingga
f⁻¹ (g⁻¹(x))
=(((x+1)/(x-2))+3)/2
=(((x+5)/(x-2)))/2
=(((4x-5)/(x-2)))/( 2)
=(4x-5)/(2x-4)
Dengan demikian
(gof)⁻¹(x)=(4x-5)/(2x-4)
