Postingan ini berisi 15 soal latihan beserta pembahasan lengkap mengenai pengertian dan dasar matematis program linear sesuai kurikulum SMA kelas 11.
Soal 1: Pengertian Program Linear
Program linear adalah suatu metode untuk …
Jawaban: Menyelesaikan masalah optimasi (maksimum atau minimum) dengan fungsi tujuan dan kendala berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear.
Soal 2: Komponen Utama Program Linear
Sebutkan dua komponen utama dalam program linear!
Pembahasan: 1. Fungsi tujuan (misal: Z = ax + by) 2. Kendala (constraint) berupa pertidaksamaan linear.
Soal 3: Bentuk Umum Fungsi Tujuan
Tuliskan bentuk umum fungsi tujuan program linear!
Jawaban: Z = ax + by, dengan a dan b adalah koefisien, dan x, y variabel keputusan.
Soal 4: Contoh Fungsi Tujuan
Sebuah toko ingin memaksimalkan keuntungan Z = 3x + 4y. Apa makna koefisien 3 dan 4?
Pembahasan: Koefisien 3 dan 4 menunjukkan keuntungan per unit barang x dan y.
Soal 5: Bentuk Kendala
Tuliskan contoh dua kendala linear!
Jawaban: [ 2x + y ] [ x + 3y ]
Soal 6: Syarat Nonnegatif
Mengapa dalam program linear selalu ada syarat x ≥ 0 dan y ≥ 0?
Pembahasan: Karena variabel biasanya mewakili jumlah fisik (barang, waktu, tenaga kerja) yang tidak mungkin negatif.
Soal 7: Daerah Feasible (Daerah Layak)
Apa yang dimaksud dengan daerah feasible?
Pembahasan: Daerah yang memenuhi semua kendala pertidaksamaan dan syarat nonnegatif.
Soal 8: Titik Sudut (Corner Point)
Mengapa nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan selalu terdapat di titik sudut?
Pembahasan: Berdasarkan teorema program linear, fungsi linear mencapai nilai optimal pada salah satu titik sudut daerah feasible.
Soal 9: Menentukan Daerah Feasible
Diketahui kendala: [ x + y , ; x , ; y . ] Gambarlah daerah feasible (secara konseptual)!
Pembahasan: Daerah feasible terletak di bawah garis x + y = 6 pada kuadran pertama (karena x, y ≥ 0).
Soal 10: Menentukan Titik Sudut
Kendala: [ x + y , ; x , ; y , ; x, y . ] Tentukan titik sudutnya!
Pembahasan: Perpotongan antar kendala: (0,0), (0,5), (1,5), (4,2), (4,0)
Soal 11: Nilai Optimum (Contoh Perhitungan)
Fungsi tujuan Z = 3x + 2y dengan kendala: [ x + y , ; x , ; y , ; x, y . ] Cari nilai maksimum Z!
Pembahasan: Uji titik sudut: – (0,0) → Z=0 – (0,5) → Z=10 – (4,2) → Z=16 – (4,0) → Z=12 Maka nilai maksimum = 16 di (4,2).
Kesimpulan: Zmax = 16.
Soal 12: Nilai Minimum
Dengan fungsi yang sama, apakah ada nilai minimum selain 0?
Pembahasan: Nilai minimum Z terjadi di (0,0) yaitu Z=0, karena semua koefisien positif.
Soal 13: Fungsi Tujuan dan Kendala dalam Konteks
Sebuah pabrik membuat dua jenis produk A dan B dengan keuntungan masing-masing Rp4.000 dan Rp6.000. Kapasitas mesin membatasi: [ 2A + B , ; A + 2B , ; A,B . ] Tuliskan model matematisnya!
Jawaban: Fungsi tujuan: ( Z = 4000A + 6000B ) Kendala: ( 2A + B , ; A + 2B , ; A,B )
Soal 14: Menentukan Titik Optimum dari Kasus Pabrik
Cari nilai A dan B yang memaksimalkan Z.
Pembahasan: Cari perpotongan: [ 2A + B = 8 ] [ A + 2B = 10 ] → kalikan persamaan kedua dengan 2: 2A + 4B = 20 Kurangi dari persamaan pertama: 3B = 12 → B = 4 Substitusi: 2A + 4 = 8 → A = 2 Uji ke fungsi tujuan: Z = 4000(2) + 6000(4) = 32.000
Kesimpulan: Nilai maksimum Rp32.000 di (A,B) = (2,4).
Soal 15: Prinsip Dasar Program Linear
Sebutkan tiga langkah utama dalam menyelesaikan masalah program linear!
Pembahasan: 1. Menentukan variabel keputusan. 2. Membentuk fungsi tujuan dan sistem kendala. 3. Menentukan daerah feasible dan menguji titik sudut untuk mencari nilai optimum.
Rangkuman Dasar Matematis Program Linear
- Fungsi tujuan berbentuk Z = ax + by (maksimalkan/minimalkan Z)
- Kendala berupa pertidaksamaan linear: a₁x + b₁y ≤ c₁, dst.
- Solusi optimal berada pada titik sudut daerah feasible.
- Dapat diselesaikan dengan grafik (untuk 2 variabel) atau metode simplex (untuk lebih dari 2 variabel).
Demikian postingan saya tentang “Soal Sederhana dari Program Linear SMA Kelas 11“. Semoga bermanfaat.
