Persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar yang memuat pangkat tertinggi variabel dua dan dapat dituliskan dalam bentuk umum: ax² + bx + c = 0
dengan:
* \(a \neq 0\)
* (a, b, c) bilangan real
* (x) adalah variabel
Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
1. Faktorisasi
Digunakan jika persamaan mudah difaktorkan.
2. Melengkapkan Kuadrat
Mengubah persamaan ke bentuk kuadrat sempurna.
3. Rumus Kuadrat (ABC)
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b² – 4ac}}{2a}\]
Diskriminan (D)
Diskriminan menentukan jenis akar: D = b² – 4ac
| (D > 0) | Dua akar real berbeda |
| (D = 0) | Dua akar real sama |
| (D < 0) | Akar tidak real |
Soal 1
Persamaan kuadrat x² -6px-2x+14p+21 mempunyai dua akar real. Batas-batas nilai yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui persamaan kuadrat:
x² – 6px – 2x + 14p + 21 = 0
Sederhanakan terlebih dahulu:
x² – (6p+2)x + (14p+21) = 0
Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real, maka diskriminan harus memenuhi \(D \ge 0\).
Langkah 1: Tentukan diskriminan
Dengan:
* a = 1
* b = -(6p+2)
* c = 14p+21
D = b² – 4ac]
D = (6p+2)² – 4(1)(14p+21)
D = 36² + 24p + 4 – 56p – 84
D = 36p² – 32p – 80
Langkah 2: Syarat dua akar real
\[D \ge 0\]
\[36p² – 32p – 80 \ge 0\]
Sederhanakan (bagi 4):
\[9p² – 8p – 20 \ge 0\]
Langkah 3: Tentukan akar persamaan
9p² – 8p – 20 = 0]
Gunakan rumus kuadrat:
\[p = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 720}}{18}= \frac{8 \pm 28}{18}\]
Akar-akar:
\[p = 2 \quad \text{dan} \quad p = -\frac{10}{9}\]
Langkah 4: Tentukan himpunan penyelesaian
Karena koefisien (p²) positif, maka:
\[p \le -\frac{10}{9} \quad \text{atau} \quad p \ge 2\]
Jawaban akhir: \[p \le -\frac{10}{9} \quad \text{atau} \quad p \ge 2\]
Soal 2
Persamaan kuadrat (m+12)x² +mx+1/4 =0 mempunyai dua akar real berbeda, batas nilai m yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui persamaan kuadrat:
(m+12)x² + mx + \(\frac14\) = 0
Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda, harus memenuhi dua syarat:
1. Koefisien (\(x² \neq 0\))
2. Diskriminan (D > 0)
Syarat 1: Koefisien \(x² \neq 0\)
\[m + 12 \neq 0 \Rightarrow m \neq -12\]
Syarat 2: Diskriminan positif
Rumus diskriminan:
D = b² – 4ac
Dengan:
* a = m+12)
* b = m)
* c = \(\frac14\)
\[D = m² – 4(m+12)\left(\frac14\right)\]
D = m² – (m+12)
D = m² – m – 12
Syarat dua akar real berbeda:
D > 0
m² – m – 12 > 0
Faktorkan: (m-4)(m+3) > 0
Penyelesaian pertidaksamaan
\[m < -3 \quad \text{atau} \quad m > 4\]
Gabungkan dengan syarat 1
Karena \(m \neq -12\), maka nilai tersebut dikeluarkan.
Jadi, batas nilai (m) yang memenuhi adalah: \(m < -3,; m \neq -12 \quad \text{atau} \quad m > 4\)
Soal 3
Diketahui persamaan kuadrat x²+6x+(2m²+3)=0 memiliki akar-akar tidak real. Nilai m yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui persamaan kuadrat:
x² + 6x + (2m² + 3) = 0
Agar persamaan kuadrat memiliki akar-akar tidak real, maka diskriminan harus negatif.
Langkah 1: Tentukan diskriminan
Untuk persamaan (ax² + bx + c = 0),
D = b² – 4ac
Dengan:
* a = 1
* b = 6
* c = 2m² + 3
D = 6² – 4(1)(2m² + 3)
D = 36 – 8m² – 12
D = 24 – 8m²
Langkah 2: Syarat akar tidak real
D < 0
24 – 8m² < 0
Bagi kedua ruas dengan 8:
3 – m² < 0
m² > 3
Jadi, nilai (m) yang memenuhi agar persamaan memiliki akar-akar tidak real adalah:
\[m < -\sqrt{3} \text{ atau } m > \sqrt{3}\]
Soal 4
Diketahui fungsi f(x)=(m-2)x² +2mx+(m+4) selalu di atas sumbu x, batas nilai m yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui fungsi:
f(x) = (m-2)x² + 2mx + (m+4)
Agar grafik fungsi kuadrat selalu di atas sumbu-x, harus memenuhi dua syarat:
Syarat 1: Terbuka ke atas
Koefisien (x²) harus positif:
\[m – 2 > 0 \Rightarrow m > 2\]
Syarat 2: Tidak memotong sumbu-x
Artinya diskriminan harus negatif: D < 0
Dengan:
* (a = m-2)
* (b = 2m)
* (c = m+4)
D = b² – 4ac
D = (2m)² – 4(m-2)(m+4)
D = 4m² – 4(m² + 2m – 8)
D = 4m² – 4m² – 8m + 32
D = -8m + 32
Syarat:
-8m + 32 < 0
m > 4
Gabungkan kedua syarat
* Dari syarat 1: (m > 2)
* Dari syarat 2: (m > 4)
Maka syarat yang memenuhi adalah: m > 4.
Soal 5
Jika grafik fungsi y=x² – (2m+2)x + 25 menyinggung sumbu x, maka nilai m yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui fungsi:
y = x² – (2m+2)x + 25
Agar grafik fungsi menyinggung sumbu-x, maka persamaan kuadrat memiliki akar kembar, sehingga diskriminan = 0.
Langkah 1: Tentukan koefisien
* (a = 1)
* (b = -(2m+2))
* (c = 25)
Langkah 2: Hitung diskriminan
D = b² – 4ac
D = (-(2m+2))² – 4(1)(25)
D = (2m+2)² – 100
Syarat menyinggung sumbu-x:
D = 0
(2m+2)² – 100 = 0
(2m+2)² = 100
Langkah 3: Tentukan nilai (m)
\[2m+2 = \pm 10\]
1. \(2m + 2 = 10 \Rightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4\)
2. \(2m + 2 = -10 \Rightarrow 2m = -12 \Rightarrow m = -6\)
Jadi, nilai m yang memenuhi adalah: \[m = 4 \text{ atau } m = -6\]
Soal 6
Persamaan kuadrat ax² +x²+4x+2a mempunyai akar-akar tidak real. Batas-batas nilai a yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui persamaan: ax² + x² + 4x + 2a = 0
Sederhanakan terlebih dahulu: (a+1)x² + 4x + 2a = 0
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar tidak real, harus memenuhi:
1. Persamaan tetap kuadrat → \(a+1 \neq 0\)
2. Diskriminan (D < 0)
Syarat 1: Persamaan tetap kuadrat
\[a+1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1\]
Syarat 2: Diskriminan negatif
Dengan:
* (a = a+1)
* (b = 4)
* (c = 2a)
D = b² – 4ac
D = 16 – 4(a+1)(2a)
D = 16 – 8a(a+1)
D = 16 – 8a² – 8a
Syarat akar tidak real:
16 – 8a² – 8a < 0
Bagi dengan (-8) (tanda pertidaksamaan berubah):
a² + a – 2 > 0
Faktorkan:
(a+2)(a-1) > 0
Penyelesaian pertidaksamaan
\[a < -2 \quad \text{atau} \quad a > 1\]
Gabungkan dengan syarat 1
Nilai (a = -1) sudah tidak termasuk dalam hasil, sehingga tidak perlu dikecualikan lagi.
Jadi, batas nilai (a) yang memenuhi adalah: \[a < -2 \text{ atau } a > 1\]
Soal 7
Persamaan kuadrat x² +(m-2)x+(2m+8)=0 mempunyai akar-akar nyata. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui persamaan kuadrat: x² + (m-2)x + (2m+8) = 0
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata (real), maka diskriminan harus lebih dari atau sama dengan nol.
Langkah 1: Tentukan koefisien
* (a = 1)
* (b = m-2)
* (c = 2m+8)
Langkah 2: Hitung diskriminan
D = b² – 4ac
D = (m-2)² – 4(1)(2m+8)
D = m² – 4m + 4 – 8m – 32
D = m² – 12m – 28
Langkah 3: Syarat akar nyata
\[D \ge 0\]
\[m² – 12m – 28 \ge 0\]
Faktorkan: \[(m-14)(m+2) \ge 0\]
Langkah 4: Tentukan batas nilai (m)
Pertidaksamaan tersebut bernilai nol atau positif jika:
\[m \le -2 \quad \text{atau} \quad m \ge 14\]
Jadi, batas-batas nilai (m) yang memenuhi agar persamaan mempunyai akar-akar nyata adalah:
\[m \le -2 \text{ atau } m \ge 14\]
Soal 8
Persamaan (a+1)x² –(2a-1)x +a+2=0, mempunyai dua akar yang sama, maka nilai a yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui persamaan kuadrat: (a+1)x² – (2a-1)x + (a+2) = 0
Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), maka harus memenuhi:
1. Koefisien \(x² \neq 0\)
2. Diskriminan (D= 0)
Syarat 1: Koefisien \(x² \neq 0\)
\[a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1\]
Syarat 2: Diskriminan (D= 0)
Dengan:
* (A = a+1)
* (B = -(2a-1) = -2a+1)
* (C = a+2)
Rumus diskriminan:
D = B² – 4AC
D = (-2a+1)² – 4(a+1)(a+2)
D = (4a² – 4a + 1) – 4(a² + 3a + 2)
D = 4a² – 4a + 1 – 4a² – 12a – 8
D = -16a – 7
Syarat akar kembar:
D = 0
-16a – 7 = 0
-16a = 7
\[a = -\frac{7}{16}\]
Pemeriksaan syarat
\[a = -\frac{7}{16} \neq -1 \quad \text{(memenuhi)}\]
Jadi, nilai (a) yang memenuhi adalah: \[a = -\frac{7}{16}\]
Soal 9
Sebuah benda dilempar ke atas. Tinggi benda itu dalam t detik dirumuskan oleh fungsi h dalam variabel t, yaitu h(t)=-5+6t-t² meter. Tinggi maksimum yang dapat dicapai benda tersebut adalah…. meter
Penyelesaian:
Diketahui fungsi tinggi benda: h(t) = -t² + 6t – 5
Fungsi ini berbentuk fungsi kuadrat terbuka ke bawah, sehingga tinggi maksimum terjadi di titik puncak (vertex).
Langkah 1: Tentukan waktu saat tinggi maksimum
Rumus titik puncak:
\[t = -\frac{b}{2a}\]
Dengan:
* (a = -1)
* (b = 6)
\[t = -\frac{6}{2(-1)} = 3\]
Langkah 2: Tentukan tinggi maksimum
Substitusikan (t = 3) ke fungsi (h(t)):
h(3) = -(3)² + 6(3) – 5
h(3) = -9 + 18 – 5]
h(3) = 4]
Jadi, tinggi maksimum yang dapat dicapai benda tersebut adalah 4 meter.
Soal 10
Batas nilai m yang memenuhi agar grafik fungsi kuadrat y=mx²+(m+2)x +m memotong sumbu X di dua titik yang berbeda adalah…
Penyelesaian:
Diketahui fungsi kuadrat: y = mx² + (m+2)x + m
Agar grafik memotong sumbu-X di dua titik yang berbeda, maka harus memenuhi dua syarat:
1. Persamaan tetap kuadrat → \(m \neq 0\)
2. Diskriminan lebih dari nol → (D > 0)
Langkah 1: Hitung diskriminan
Untuk ax² + bx + c = 0,
D = b² – 4ac
Dengan:
* (a = m)
* (b = m+2)
* (c = m)
D = (m+2)² – 4(m)(m)
D = m² + 4m + 4 – 4m²
D = -3m² + 4m + 4
Langkah 2: Syarat dua titik potong
D > 0
-3m² + 4m + 4 > 0
Kalikan (-1) (tanda berubah):
3m² – 4m – 4 < 0
Langkah 3: Tentukan akar pertidaksamaan
Faktorkan:
3m² – 4m – 4 = 0
(3m+2)(m-2) = 0
Akar:
\[m = -\frac{2}{3} \quad \text{dan} \quad m = 2\]
Karena tanda < 0, maka nilai (m) berada di antara akar-akar tersebut:
\[-\frac{2}{3} < m < 2\]
Langkah 4: Perhatikan syarat \(m \neq 0\)
Jadi, batas nilai (m) yang memenuhi adalah:
\[-\frac{2}{3} < m < 0 ;\text{atau}; 0 < m < 2\]
Soal 11
Agar grafik fungsi kuadrat y=(m-1)x² – 2(m-1)x + (2m+1) selalu berada di bawah sumbu X, maka batas nilai m yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui fungsi kuadrat: y = (m-1)x² – 2(m-1)x + (2m+1)
Agar grafik fungsi kuadrat selalu berada di bawah sumbu-X, maka harus memenuhi dua syarat:
1. Grafik terbuka ke bawah → (a < 0)
2. Grafik tidak memotong sumbu-X → diskriminan (D < 0)
Syarat 1: Terbuka ke bawah
Koefisien (x²):
a = m – 1
Syarat:
m – 1 < 0
m < 1
Syarat 2: Diskriminan negatif
Koefisien:
* (a = m – 1)
* (b = -2(m – 1))
* (c = 2m + 1)
Rumus diskriminan:
D = b² – 4ac
D = [-2(m-1)]² – 4(m-1)(2m+1)
D = 4(m-1)² – 4(m-1)(2m+1)
Faktorkan:
\[D = 4(m-1)\big[(m-1)-(2m+1)\big]\]
\[D = 4(m-1)(-m-2)\]
Syarat:
D < 0
Karena 4 positif, maka:
(m-1)(-m-2) < 0
Akar-akar:
\[m = 1 \quad \text{dan} \quad m = -2\]
Pertidaksamaan bernilai negatif jika:
\[m < -2 \quad \text{atau} \quad m > 1\]
Gabungkan kedua syarat
* Dari syarat 1: (m < 1)
* Dari syarat 2: (m < -2) atau (m > 1)
Irisannya adalah:
m < -2
Jawaban akhir: m < -2
Soal 12
Fungsi f(x)=(a-1)x² + 2ax + (a+4) adalah fungsi definit positif. Batas nilai a yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui fungsi kuadrat:
f(x) = (a-1)x² + 2ax + (a+4)
Agar fungsi tersebut definit positif (selalu bernilai positif untuk semua (x)), harus memenuhi dua syarat:
Syarat 1: Terbuka ke atas
Koefisien (x²) harus positif:
a – 1 > 0
a > 1
Syarat 2: Tidak memotong sumbu-X
Artinya diskriminan harus negatif:
D < 0
Dengan:
* A = a-1
* B = 2a
* C = a+4
Rumus diskriminan:
D = B² – 4AC
D = (2a)² – 4(a-1)(a+4)
D = 4a² – 4(a² + 3a – 4)
D = 4a² – 4a² – 12a + 16
D = -12a + 16
Syarat:
-12a + 16 < 0
-12a < -16
\[a > \frac{4}{3}\]
Gabungkan kedua syarat
* Dari syarat 1: a > 1
* Dari syarat 2: \(a > \frac{4}{3}\)
Syarat yang memenuhi: \(a > \frac{4}{3})
Soal 13
Grafik fungsi kuadrat y=-x² +2x+8 tidak berpotongan dan juga tidak menyinggung garis y=bx+12. Batas-batas nilai b yang memenuhi adalah…
Penyelesaian:
Diketahui:
Fungsi kuadrat: y = -x
Diketahui persamaan kuadrat: x² – 6px – 2x + 14p + 21 = 0
Sederhanakan terlebih dahulu: x² – (6p+2)x + (14p+21) = 0
Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar real, maka diskriminan harus memenuhi \(D \ge 0\).
Langkah 1: Tentukan diskriminan
Dengan:
* (a = 1)
* (b = -(6p+2))
* (c = 14p+21)
D = b² – 4ac
D = (6p+2)² – 4(1)(14p+21)
D = 36p² + 24p + 4 – 56p – 84
D = 36p² – 32p – 80
Langkah 2: Syarat dua akar real
\[D \ge 0\]
\[36p^2 – 32p – 80 \ge 0\]
Sederhanakan (bagi 4):
\[9p^2 – 8p – 20 \ge 0\]
Langkah 3: Tentukan akar persamaan
9p² – 8p – 20 = 0
Gunakan rumus kuadrat:
\[p = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 720}}{18}= \frac{8 \pm 28}{18}\]
Akar-akar:
\[p = 2 \quad \text{dan} \quad p = -\frac{10}{9}\]
Langkah 4: Tentukan himpunan penyelesaian
Karena koefisien (p²) positif, maka:
\[p \le -\frac{10}{9} \quad \text{atau} \quad p \ge 2\]
Jawaban akhir:
\[\boxed{p \le -\frac{10}{9} ;\text{atau}; p \ge 2}\]
+ 2x + 8
* Garis lurus: y = bx + 12
Agar grafik tidak berpotongan dan tidak menyinggung, maka kedua grafik tidak memiliki titik persekutuan, sehingga persamaan hasil perpotongan tidak mempunyai akar real (diskriminan < 0).
Langkah 1: Samakan kedua persamaan
-x² + 2x + 8 = bx + 12
Pindahkan semua ke satu ruas:
-x² + (2-b)x – 4 = 0
Kalikan dengan (-1) agar lebih mudah:
x² – (2-b)x + 4 = 0
Langkah 2: Hitung diskriminan
D = [-(2-b)]² – 4(1)(4)
D = (2-b)² – 16
Langkah 3: Syarat tidak berpotongan dan tidak menyinggung
D < 0
(2-b)² – 16 < 0
(2-b)² < 16
Akar pertidaksamaan: -4 < 2-b < 4
Kurangi 2 pada semua ruas: -6 < -b < 2
Kalikan dengan (-1) (tanda berubah): 6 > b > -2
Jawaban akhir: -2 < b < 6
Demikian “Persamaan Kuadrat (Latihan Soal) Matematika SMA“. Semoga bermanfaat.
