Berikut ini saya akan memberikan 10 soal beserta penyelesaiannya tentang refleksi (pencerminan) dan translasi (pergeseran), yang merupakan materi pokok untuk kelas 3 SMP. Berikut adalah soal-soal dan penyelesaiannya:
1. Bayangan titik C(-2,1) oleh translasi (2,-3) adalah …
Penyelesaian:
Bayangan titik C(-2, 1) oleh translasi T = (2, -3) adalah C'(0,-2).
Berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya:
Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.
Jika titik awal adalah C(x, y) dan vektor translasi adalah T(a, b), maka koordinat bayangan C'(x’, y’) dihitung dengan rumus:
C'(x’, y’) = (x + a, y + b)
1. Identifikasi koordinat titik awal:
C(x, y) = C(-2, 1)
2. Identifikasi vektor translasi:
T(a, b) = T(2, -3)
3. Hitung koordinat bayangan C’:
*Komponen x:
x’ = x + a = -2 + 2 = 0
*Komponen y:
y’ = y + b = 1 + (-3) = 1 – 3 = -2
Koordinat bayangan titik C adalah C'(0,-2).
2. Titik (A) memiliki koordinat (3, -5). Tentukan koordinat bayangan titik (A) setelah ditranslasikan oleh vektor T = (-2, 7).
Penyelesaian:
Translasi sebuah titik (x, y) oleh vektor T = (a, b) menghasilkan bayangan (x’, y’) dengan rumus:
x’ = x + a
y’ = y + b
Diketahui A(3, -5) dan T = (-2, 7).
x’ = 3 + (-2) = 1
y’ = -5 + 7 = 2
Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A'(1, 2).
3. Titik M(3,-1) direfleksikan terhadap sumbu Y. Hasil refleksi titik M adalah …
Hasil refleksi titik M(3, -1) terhadap sumbu-y adalah M'(-3, -1).
Penjelasan Refleksi terhadap Sumbu-Y:
Refleksi (pencerminan) terhadap sumbu-y mengubah tanda koordinat x (menjadi negatifnya), sedangkan koordinat y tetap sama.
Rumus umum untuk refleksi terhadap sumbu-y:
(x, y) \(x\rightarrow{\text{Refleksi Sumbu-y}}\) (-x, y)
1. Identifikasi koordinat titik awal:
M(x, y) = M(3, -1)
2. Terapkan rumus refleksi:
*Koordinat x bayangan (x’):
x’ = -x = -(3) = -3
*Koordinat y bayangan (y’):
y’ = y = -1
Jadi, hasil refleksi titik M adalah M'(-3, -1).
4. Tentukan koordinat bayangan titik B(-4, 6) setelah dicerminkan (direfleksikan) terhadap sumbu-x.
Penyelesaian:
Refleksi titik (x, y) terhadap sumbu-x menghasilkan bayangan (x’, y’) dengan rumus:
(x, y) \(x\rightarrow{\text{Refleksi Sumbu-x}}\) (x, -y)
Diketahui B(-4, 6).
B'(-4, -(6)) = (-4, -6)
Jadi, koordinat bayangan titik B adalah B'(-4, -6).
5. Tentukan koordinat bayangan titik C(2, -9) setelah dicerminkan (direfleksikan) terhadap sumbu-y.
Penyelesaian:
Refleksi titik (x, y) terhadap sumbu-y menghasilkan bayangan (x’, y’) dengan rumus:
(x, y) \(x\rightarrow{\text{Refleksi Sumbu-y}}\) (-x, y)
Diketahui C(2, -9).
C'(-(2), -9) = (-2, -9)
Jadi, koordinat bayangan titik C adalah C'(-2, -9).
6. Titik D memiliki koordinat (-5, -3). Tentukan koordinat bayangan titik D setelah direfleksikan terhadap garis y = x.
Penyelesaian:
Refleksi titik (x, y) terhadap garis y = x menghasilkan bayangan (x’, y’) dengan rumus:
(x, y) \(x\rightarrow{\text{Refleksi } y=x}\) (y, x)
Diketahui D(-5, -3).
D'(-3, -5)
Jadi, koordinat bayangan titik D adalah D'(-3, -5).
7. Tentukan koordinat bayangan titik E(7, -1) setelah direfleksikan terhadap titik asal O(0, 0).
Penyelesaian:
Refleksi titik (x, y) terhadap titik asal O(0, 0) menghasilkan bayangan (x’, y’) dengan rumus:
(x, y) \(x\rightarrow{\text{Refleksi } O(0, 0)}\) (-x, -y)
Diketahui E(7, -1).
E'(-(7), -(-1)) = (-7, 1)
Jadi, koordinat bayangan titik E adalah E'(-7, 1).
8. Titik P(-1, 8) ditranslasikan oleh vektor T sehingga menghasilkan bayangan P'(4, 12). Tentukan vektor translasi T tersebut.
Penyelesaian:
Kita punya (x’, y’) = (x + a, y + b).
Diketahui P(-1, 8), P'(4, 12), dan T = (a, b).
Untuk komponen x:
x’ = x + a
4 = -1 + a
a = 4 + 1 = 5
Untuk komponen y:
y’ = y + b
12 = 8 + b
b = 12 – 8 = 4
Jadi, vektor translasi T adalah T=(5, 4).
9. Tentukan persamaan bayangan garis g: 2x – 3y + 6 = 0 setelah ditranslasikan oleh vektor T = (4, -1).
Penyelesaian:
Translasi T = (4, -1) berarti:
x’ = x + 4 ==> x = x’ – 4
y’ = y – 1 ==> y = y’ + 1
Substitusikan nilai x dan y ke persamaan garis 2x – 3y + 6 = 0:
2(x’ – 4) – 3(y’ + 1) + 6 = 0
2x’ – 8 – 3y’ – 3 + 6 = 0
2x’ – 3y’ – 5 = 0
Jadi, persamaan bayangan garis g adalah 2x – 3y – 5 = 0.
10. Tentukan persamaan bayangan garis h: x + 5y – 10 = 0 setelah direfleksikan terhadap sumbu-x.
Penyelesaian:
Refleksi terhadap sumbu-x: (x, y) \(x\rightarrow{}\) (x’, y’).
x’ = x ==> x = x’
y’ = -y ==> y = -y’
Substitusikan nilai x dan y ke persamaan garis x + 5y – 10 = 0:
(x’) + 5(-y’) – 10 = 0
x’ – 5y’ – 10 = 0
Jadi, persamaan bayangan garis h adalah x – 5y – 10 = 0.
11. Titik K(1, 4) dicerminkan terhadap garis y = -x, kemudian dilanjutkan dengan translasi T = (-3, 2). Tentukan koordinat bayangan akhir titik K.
Penyelesaian:
Langkah 1: Refleksi terhadap garis y = -x
Rumus refleksi terhadap y = -x: (x, y) \(x\rightarrow{}\) (-y, -x).
K(1, 4) \(x\rightarrow{\text{Refleksi } y=-x}\) K'(-4, -1)
Langkah 2: Translasi
Titik K'(-4, -1) ditranslasikan oleh T = (-3, 2)\).
Rumus translasi: (x’, y’) \(x\rightarrow{T(a, b)}\) (x’ + a, y’ + b).
K” = (-4 + (-3), -1 + 2)
K” = (-7, 1)
Jadi, koordinat bayangan akhir titik K adalah K”(-7, 1)}.
12. Bayangan akhir titik L adalah L”(6, -2). Titik L telah mengalami refleksi terhadap garis x = 3 dan dilanjutkan dengan translasi T = (-1, 5). Tentukan koordinat awal titik L.
Penyelesaian:
Kita akan bekerja mundur.
Langkah 1: Invers Translasi
Bayangan L'(x’, y’) ditranslasikan oleh T = (-1, 5) menjadi L”(6, -2).
Invers translasi adalah \(T^{-1}\) = -T = (1, -5).
L’ = L” + \(T^{-1}\)
L’ = (6 + 1, -2 + (-5))
L’ = (7, -7)
Langkah 2: Invers Refleksi terhadap garis x = 3
Titik awal L(x, y) direfleksikan terhadap garis x = 3 menjadi L'(7, -7).
Rumus refleksi terhadap garis x = h: (x, y) \(x\rightarrow{}\) (2h – x, y).
Di sini h = 3. Maka L'(2h – x, y) = L'(7, -7).
Untuk komponen y:
y’ = y==> -7 = y
Untuk komponen x:
x’ = 2h – x
7 = 2(3) – x
7 = 6 – x
x = 6 – 7 = -1
Jadi, koordinat awal titik L adalah L(-1, -7).
13. Titik C(p,q) yang ditranslasikan oleh (-2,-7) menghasilkan titik C'(3,-1). Koordinat titik C adalah …
Koordinat titik C adalah C(5, 6)}.
Penjelasan dan Perhitungan:
Translasi memindahkan sebuah titik berdasarkan vektor pergeseran. Jika titik awal adalah C(x, y), vektor translasi adalah T(a, b), dan titik bayangan adalah C'(x’, y’), rumusnya adalah:
x’ = x + a
y’ = y + b
Dalam soal ini:
* Titik awal: C(x, y) = C(p, q)
* Vektor Translasi: T(a, b) = T(-2, -7)
* Titik Bayangan: C'(x’, y’) = C'(3, -1)
Kita perlu mencari nilai p dan q.
1. Mencari nilai p (Koordinat x)
Gunakan rumus x’ = x + a:
3 = p + (-2)
3 = p – 2
p = 3 + 2
p = 5}
2. Mencari nilai q (Koordinat y)
Gunakan rumus y’ = y + b:
-1 = q + (-7)
-1 = q – 7
q = -1 + 7
q = 6
Jadi, koordinat titik C(p, q) adalah C(5, 6).
14. Titik D(-2,6) ditranslasikan oleh T menghasilkan titik D'(-4,1). Jika titik E(4,-8) ditranslasikan oleh T menghasilkan bayangan …
Tentu, mari kita hitung langkah demi langkah.
1. Menentukan Vektor Translasi T
Pertama, kita harus mencari tahu vektor translasi T(a, b) yang mengubah titik D menjadi D’.
* Titik Awal: D(-2, 6) ==> (x, y) = (-2, 6)
* Titik Bayangan: D'(-4, 1) ==> (x’, y’)= (-4, 1)
Rumus translasi adalah:
x’ = x + a
y’ = y + b
Mencari komponen a:
x’ = x + a
-4 = -2 + a
a = -4 + 2
a = -2
Mencari komponen b:
y’ = y + b
1 = 6 + b
b = 1 – 6
b = -5}
Jadi, vektor translasi T adalah T(-2, -5).
2. Menghitung Bayangan Titik E
Sekarang, kita gunakan vektor translasi T(-2, -5) untuk mentranslasikan titik E(4, -8).
*Titik Awal: E(4, -8) ==> (x, y) = (4, -8)
*Vektor Translasi: T(-2, -5) ==> (a, b) = (-2, -5)
Mencari koordinat E'(x’, y’):
x’ = x + a
x’ = 4 + (-2)
x’ = 2}
y’ = y + b
y’ = -8 + (-5)
y’ = -13}
Bayangan titik E setelah ditranslasikan oleh T(-2, -5) adalah E'(2, -13).
15. Titik A(p,q) ditranslasikan oleh (-2,5), lalu ditranslasikan lagi oleh (6,-7) menghasilkan titik A”(-1,3). Hasil p+q adalah …
Hasil dari p + q adalah \((\mathbf{0})\).
Berikut adalah langkah-langkah untuk menemukan koordinat awal A(p, q) dan menghitung nilai p + q.
1. Menentukan Total Vektor Translasi
Dua kali translasi berturut-turut (komposisi translasi) dapat digantikan oleh satu translasi tunggal yang merupakan penjumlahan dari kedua vektor translasi.
* Translasi pertama: (\(T_1\)) = (-2, 5)
* Translasi kedua: (\(T_2\)) = (6, -7)
Total Vektor Translasi (\(T_{\text{total}}\)) = (\(T_1\) + \(T_2\)):
\(T_{\text{total}}\) = (-2 + 6, 5 + (-7))
\(T_{\text{total}}\) = (4, -2)
2. Menemukan Koordinat Awal A(p, q)
Titik A(p, q) ditranslasikan oleh \(T_{\text{total}}\) = (4, -2) menghasilkan bayangan akhir A”(-1, 3).
Rumus translasi:
A”(x’, y’) = A(x, y) + T(a, b)
-1 = p + 4
3 = q + (-2)
Mencari nilai p:
-1 = p + 4
p = -1 – 4
p = -5
Mencari nilai q:
3 = q – 2
q = 3 + 2
q = 5
Jadi, koordinat titik awal adalah A(-5, 5).
3. Menghitung p + q
Kita diminta untuk mencari nilai p + q:
p + q = -5 + 5
p + q = 0
Demikian pembahasan kita tentang “15 Contoh Soal Matematika Refleksi dan Translasi Kelas 9 SMP“. Semoga bermanfaat.
