Berikut penjelasan singkat dari aturan perkalian, kombinasi, dan permutasi untuk Matematika Kelas 12, disusun ringkas dan jelas.
1. Aturan Perkalian
Aturan perkalian biasanya digunakan untuk menentukan banyak cara melakukan beberapa kegiatan yang saling bebas dan dilakukan berurutan.
Prinsip:
Jika suatu kegiatan dapat dilakukan dengan m cara dan kegiatan lain dengan n cara, maka kedua kegiatan tersebut dapat dilakukan dengan:
\[m \times n \text{ cara}\]
2. Permutasi
Permutasi digunakan untuk menentukan banyak susunan jika urutan sangat diperhatikan.
Rumus umum:
\[P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]
Keterangan:
n = jumlah objek
r = jumlah yang disusun
3. Kombinasi
Kombinasi digunakan untuk menentukan banyak cara memilih objek jika urutan tidak diperhatikan.
Rumus umum:
\[C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]
Soal Aturan Perkalian, Kombinasi dan Permutasi.
Soal 1
Dari 10 orang calon pengurusan suatu organisasi akan dipilih sebagai ketua, sekretaris dan bendahara. Banyak cara pemilihan yang mungkin adalah…
Penyelesaian:
Karena jabatan ketua, sekretaris, dan bendahara berbeda (urutan penting), maka digunakan permutasi.
Penyelesaian:
Jumlah cara memilih 3 orang dari 10 orang untuk 3 jabatan berbeda adalah:
\[P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720\]
Jadi, banyak cara pemilihan yang mungkin adalah 720 cara.
Kesimpulan:Karena setiap jabatan berbeda, urutan pemilihan berpengaruh, sehingga digunakan permutasi, bukan kombinasi.
Soal 2
Dari 9 orang calon kapolda akan dipilih 3 orang sebagai kapolda untuk ditempatkan di tiga provinsi yang berbeda. Banyak cara penempatan yang mungkin adalah…
Penyelesaian:
Karena 3 orang kapolda akan ditempatkan pada 3 provinsi yang berbeda (posisi berbeda, urutan penting), maka digunakan permutasi.
Penyelesaian:
Jumlah cara menempatkan 3 orang dari 9 orang ke 3 provinsi berbeda adalah:
\(P(9,3) = 9 \times 8 \times 7 = 504\)
Jadi, banyak cara penempatan yang mungkin adalah 504 cara.
Kesimpulan: Karena setiap provinsi berbeda, maka urutan penempatan berpengaruh sehingga menggunakan permutasi.
Soal 3
Diketahui sebuah sekolah memiliki 10 orang pemain sepak takraw. Tiap tim sepak takraw terdiri dari 3 pemain. Banyak tim yang dapat dibentuk adalah…
Penyelesaian:
Karena yang ditanyakan adalah banyak tim dan urutan pemain dalam tim tidak diperhatikan, maka digunakan kombinasi.
Penyelesaian:
Jumlah cara membentuk tim beranggotakan 3 orang dari 10 pemain:
\[C(10,3) = \frac{10!}{3!,7!}\]
Hitung:
\[C(10,3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]
Jadi, banyak tim sepak takraw yang dapat dibentuk adalah 120 tim.
Kesimpulan: Karena hanya memilih anggota tim tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan kombinasi.
Soal 4
Banyak bilangan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda yang dapat disusun dari angka 1,2,3,4,5,6 adalah…
Penyelesaian:
Kita cari banyak bilangan genap 3 angka berbeda yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Langkah 1: Tentukan syarat bilangan genap
Bilangan genap harus berakhir dengan angka genap.
Angka genap dari himpunan tersebut adalah: 2, 4, 6.
Jadi, digit satuan ada 3 pilihan.
Langkah 2: Tentukan digit ratusan
Setelah satuan dipilih, tersisa 5 angka
Digit ratusan tidak boleh 0 (tidak ada 0 di sini) dan harus berbeda
Maka digit ratusan ada 5 pilihan
Langkah 3: Tentukan digit puluhan
Setelah ratusan dan satuan dipilih, tersisa 4 angka
Digit puluhan ada 4 pilihan
Langkah 4: Hitung banyak bilangan
\[3 \times 5 \times 4 = 60\]
Jadi, banyak bilangan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda adalah 60 bilangan.
Kesimpulan:
Karena memperhatikan urutan angka dan ada syarat genap, maka digunakan aturan perkalian (permutasi bersyarat).
Soal 5
Dalam suatu ulangan siswa harus mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia dengan syarat empat soal terakhir wajib dikerjakan. Bayak cara siswa mengerjakan soal sisa adalah…
Penyelesaian:
Diketahui:
Jumlah soal tersedia = 10 soal
Soal yang harus dikerjakan = 8 soal
4 soal terakhir wajib dikerjakan
Langkah 1: Tentukan soal yang tersisa
Jika 4 soal terakhir wajib, maka siswa tinggal memilih:
\[8 – 4 = 4 \text{ soal lagi}\]
Soal yang dapat dipilih berasal dari:
\[10 – 4 = 6 \text{ soal pertama}\]
Langkah 2: Hitung banyak cara memilih
Karena urutan mengerjakan soal tidak diperhatikan, maka digunakan kombinasi:
\[C(6,4) = \frac{6!}{4!,2!}\]
Hitung: \[C(6,4) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\]
Jadi, banyak cara siswa mengerjakan soal sisa adalah 15 cara.
Kesimpulan: Karena hanya memilih soal tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan kombinasi.
Soal 6
Disuatu kedai makanan ringan disediakan 6 macam bumbu perasa. Setiap makanan ringan yang dibuat dibatasi dengan maksimal 3 bumbu perasa. Banyak variasi makanan rigan dengan bumbu perasa yang dibuat adalah…
Penyelesaian:
Diketahui:
Tersedia 6 macam bumbu perasa
Setiap makanan ringan menggunakan maksimal 3 bumbu perasa
Urutan bumbu tidak diperhatikan, hanya jenisnya saja
Langkah 1: Tentukan kemungkinan jumlah bumbu
Karena maksimal 3 bumbu, maka kemungkinan bumbu yang dipakai adalah:
1 bumbu
2 bumbu
3 bumbu
Langkah 2: Hitung banyak variasi tiap kemungkinan
1.Menggunakan 1 bumbu**
C(6,1) = 6
2.Menggunakan 2 bumbu
\[C(6,2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\]
3.Menggunakan 3 bumbu
\[C(6,3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\]
Langkah 3: Jumlahkan seluruh variasi
[6 + 15 + 20 = 41]
Jadi, banyak variasi makanan ringan dengan bumbu perasa yang dapat dibuat adalah 41 variasi.
Kesimpulan: Karena memilih bumbu tanpa memperhatikan urutan dan jumlahnya dibatasi maksimal 3, maka digunakan kombinasi.
Soal 7
Toni mempunyai koleksi 3 pasang sepatu dengan merek yang berbeda, 4 berlainan corak dan 3 celana yang berbeda warna. Banyak cara Toni berpakaian dengan penampilan yang berbeda adalah…
Penyelesaian:
Gunakan aturan perkalian, karena pilihan sepatu, baju (corak), dan celana saling bebas.
Diketahui:
Sepatu = 3 pasang (berbeda merek)
Baju = 4 corak berbeda
Celana = 3 warna berbeda
Penyelesaian:
Banyak cara berpakaian:
\[3 \times 4 \times 3 = 36\]
Jadi, banyak cara Toni berpakaian dengan penampilan yang berbeda adalah 36 cara.
Kesimpulan: Jika beberapa pilihan dilakukan secara bersamaan dan saling bebas, maka digunakan aturan perkalian.
Soal 8
Disuatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 5 calon. Calon yang ada terdiri dari 8 pria dan 7 wanita. Banyak susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 4 pria adalah…
Penyelesaian:
Diketahui:
Jumlah pria = 8 orang
Jumlah wanita = 7 orang
Jumlah perwakilan = 5 orang
Syarat: sekurang-kurangnya 4 pria (artinya 4 pria atau 5 pria)
Karena yang dipilih adalah susunan perwakilan (tanpa urutan), maka digunakan kombinasi.
Kasus 1: Terpilih 4 pria dan 1 wanita
Memilih 4 pria dari 8:
C(8,4) = 70
Memilih 1 wanita dari 7:
C(7,1) = 7
Banyak susunan:
\[70 \times 7 = 490\]
Kasus 2: Terpilih 5 pria
Memilih 5 pria dari 8:
C(8,5) = 56
Langkah akhir: Jumlahkan semua kemungkinan
490 + 56 = 546
Jadi, banyak susunan perwakilan yang dapat dibentuk adalah 546 susunan.
Kesimpulan: Karena pemilihan anggota tidak memperhatikan urutan dan memiliki syarat tertentu, maka digunakan kombinasi dengan kasus.
Soal 9
Sebuah hotel akan membuat papan nomor kamar. Pemilik hotel berkeinginan menggunakan angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Jika nomor yang terbentuk terdiri dari 3 angka berbeda dan bernilai lebih dari 500, maka banyak nomor papan kamar yang dapat dibuat adalah…
Penyelesaian:
Diketahui:
Angka yang digunakan: 0–9
Nomor kamar terdiri dari 3 angka berbeda
Nilai nomor lebih dari 500
Karena urutan angka diperhatikan, maka digunakan aturan perkalian (permutasi bersyarat).
Langkah 1: Tentukan angka ratusan
Agar bilangan lebih dari 500, angka ratusan yang mungkin adalah:
[5, 6, 7, 8, 9] Ada 5 pilihan
Langkah 2: Tentukan angka puluhan
Angka puluhan boleh dari 0–9
Tidak boleh sama dengan angka ratusan Tersisa 9 pilihan
Langkah 3: Tentukan angka satuan
Tidak boleh sama dengan angka ratusan dan puluhan Tersisa 8 pilihan
Langkah 4: Hitung banyak nomor
\[5 \times 9 \times 8 = 360\]
Jadi, banyak nomor papan kamar yang dapat dibuat adalah 360 nomor.
Kesimpulan: Karena membentuk bilangan dengan syarat tertentu dan angka tidak boleh sama, maka digunakan aturan perkalian (permutasi).
Soal 10
Pada bulan Mei sebuah perusahaan telekomunikasi berkeinginan mengeluarkan kartu perdana dengan nomor khusus yang terdiri atas 5 angka yang selalu diawali dengan angka 8 dan diakhiri dengan angka ganjil serta boleh berulang. Banyak kartu perdana yang harus disediakan adalah…
Penyelesaian:
Diketahui:
Nomor kartu terdiri dari 5 angka
Angka pertama selalu 8 → 1 pilihan
Angka terakhir ganjil → {1, 3, 5, 7, 9} → 5 pilihan
Angka boleh berulang
Tiga angka di tengah bebas (angka 0–9)
Karena urutan angka diperhatikan, gunakan aturan perkalian.
Penyelesaian:
Angka ke-1 (depan) = 1 pilihan
Angka ke-2 = 10 pilihan
Angka ke-3 = 10 pilihan
Angka ke-4 = 10 pilihan
Angka ke-5 (belakang, ganjil) = 5 pilihan
\[1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 5000\]
Jadi, banyak kartu perdana yang harus disediakan adalah 5.000 kartu.
Kesimpulan: Karena angka boleh berulang dan ada syarat pada posisi tertentu, maka digunakan aturan perkalian.
Demikian “10 Soal Aturan Perkalian, Kombinasi dan Permutasi Kelas 12“. Semoga Bermanfaat.
