Skip to main content

15 Contoh Soal dan Jawaban Logaritma SMA

Untuk menjawab soal-soal tentang logaritma, terlebih dahulu Gengs harus menguasai sifat-sifat dari logaritma. Berikut sifat-sifat logaritma:
1. ᵃlog x = y maka aʸ = x dengan a>0 a#1 dan x>0
2. ᵃlog xy = ᵃlog x + ᵃlog y
3. ᵃlog x/y = ᵃlog x - ᵃlog y
4. ᵃlog xᵖ = p ᵃlog x
5. ᵃlog b = log b / log a
6. ᵃlog a = 1
7. ᵃ'ᶜlog bᵈ = d/c ᵃlog b
8. ᵃlog b ⨯ ᵇlog c = ᵃlog c

Untuk menjawab soal-soal tentang persamaan logaritma, berikut ini beberapa sifat yang harus Gengs kuasai.
1. ᵃlog f(x) = b maka f(x) = aᵇ dengan syarat f(x) > 0
2. ᵃlog f(x) = ᵃlog g(x) maka f(x) = g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x)>0
3. ᵃlog f(x) = ᵇlog f(x) maka f(x) = 1
4. ᶠ⁽ˣ⁾log g(x) = ᶠ⁽ˣ⁾log h(x)
Jika f(x)>0 g(x)>0 h(x)>0 dan f(x)#1 maka g(x)=h(x)

Untuk menjawab soal-soal tentang pertidaksamaan logaritma, berikut ini beberapa sifat yang harus Gengs kuasai.
1. f(x) > 0
2. g(x) > 0
3. f(x) < g(x) untuk a>1
f(x) > g(x) untuk 0<a<1
Himpunan penyelesaiannya adalah 1 ∩ 2 ∩ 3.

Tanpa basa-basi lagi beriku 15 soal logaritma beserta jawabannya.

Soal 1
Diketahui ³log 4 = p. Nilai dari ¹⁶log 81 adalah...
Jawaban:
³log4=p
¹⁶log 81 = ²log 3

Karena
³log 4 = p
³log 2² = p
2 ³log 2 = p
³log 2 = p/2
 
Dengan demikian, 
²log 3 = 1/(³log 2) = 1/(p/2) = 2/p

Soal 2
Sederhanakanlah bentuk-bentuk logaritma berikut!
a. ⁶log 9 + ⁶log 8 - ⁶log 2
Jawaban:
⁶log 9 + ⁶log 8 - ⁶log 2 
= ⁶log (9⨯8) - ⁶log 2
= ⁶log 72 - ⁶log 2
= ⁶log (72/2)
= ⁶log 36
= ⁶log 6² 
= 2 ⁶log 6 = 2

b. ²log 80 + 2 ²log 3 - ²log 20
Jawaban:
²log 80 + 2 ²log 3 - ²log 20
= ²log 80 + ²log 3² - ²log 20
= ²log 80 + ²log 9 - ²log 20
=  ²log (80⨯9) - ²log 20
=  ²log 720 - ²log 20
=  ²log (720/20)
= ²log 36
= ²log 6² = 2

Soal 3
Diketahui ²log 3 = a, ³log 5=b. Nyatakan ¹⁵log 6 dalam bentuk a dan b.
Jawaban:
¹⁵log 6 
= (³log 6)/(³log15)
= (³log3⨯2)/(³log3x5)
= (³log 3 + ³log 2)/(³log 3 + ³log5)
= (1+ ³log 2)/(1+b)

Kita akan mencari ³log 2.
Karena ²log 3 = a maka 
(1/³log 2) = a 
a ³log 2 = 1
³log 2 = 1/a

Dengan demikian
= (1+ ³log 2)/(1+b)
= (1 + (1/a))/(1+b)
= (a/a + 1/a)/(1+b)
= ((a+1)/a)/(1+b)
= ((a+1)/a) ⨯ (1/(1+b))
= (a+1)/(a+ab)

Soal 4
Jika ²log 3=a maka ⁶log 8 adalah...
Jawaban:
⁶log 8 = ⁶log 2³ 
= 3 ⁶log 2 
= 3 (1/(²log 6)) 
= 3(1/²log 2⨯3) 
= 3 (1/²log 2 + ²log 3) 
= 3 (1/1+a) = 3/1+a

Soal 5
Tentukan hasil operasi logaritma berikut.
a. ²log 10 + ²log 12 - ²log 15
Jawaban:
²log 10 + ²log 12 - ²log 15
= ²log (10⨯12) - ²log 15
= ²log 120 - ²log 15
= ²log (120 /15)
= ²log 8
= ²log 2³ = 3

b. ⁴log √2 + ⁴log √8
Jawaban:
⁴log √2 + ⁴log √8
=  ⁴log (√2 ⨯√8)
=  ⁴log √16
=  ⁴log 4 = 1

Soal 6
Tentukan nilai dari 
⁵log 49 ⨯ ⁷log 64  ⨯ ⁸log (1/625)
Jawaban:
⁵log 49 ⨯ ⁷log 64  ⨯ ⁸log (1/625)
= ⁵log 7² ⨯ ⁷log 8²  ⨯ ⁸log (1/5⁴)
= 2 ⁵log 7 ⨯ 2 ⁷log 8  ⨯ ⁸log 5⁻⁴
= 2 ⁵log 7 ⨯ 2 ⁷log 8  ⨯ (-4) ⁸log 5
= (2⨯2⨯(-4)) ⁵log 5
= -16

Soal 7
Diketahui ⁴log 3=a  ²log 5=b. Nilai ²log 90 jika dinyatakan dalam a dan b adalah...
Jawaban:
²log 90 
= ²log (9x10) 
=  ²log 9 +  ²log 10 
=  ²log 3² +  ²log (5⨯2) 
= 2 ²log 3 + ( ²log 5 +  ²log 2) 
= 2 ²log 3 + (²log 5 + 1)

Karena ²log 3 belum diketahui mari kita cari menggunakan apa yang telah diketahui pada soal.
⁴log 3 = a
1/2 ²log 3 = a
²log 3 = 2a

Dengan demikian
²log 90 
= 2 ²log 3 + (²log 5 + 1)
= 2(2a) + (b+1) 
= 4a + b + 1

Soal 8
Diketahui a=⁴log x dan b=²log x. Jika ⁴log b + ²log a = 2 maka a+2b adalah...
Jawaban
⁴log b + ²log a = 2
1/2 ²log b + ²log a = 2
²log √b + ²log a = 2
²log (√b ⨯ a) = 2
²log a√b = 2
a√b = 2²
a√b = 4

Diketahui
b=²log x
a=⁴log x 
a = 1/2 ²log x
2a = ²log x 
2a = b

Dengan demikian
a√b = 4
a√(2a ) = 4
√(2a ) = 4/a
2a = (4/a)²
2a = 16/a²
2a³ = 16
a³ = 8
a = 2

Substitusikan a=2 kedalan 2a=b
2a = b
2(2) =b
b=4

Jadi
a+2b = 2 + 2(4) = 2 + 8 = 10

Soal 9
Penyelesaian persamaan logaritma ⁷log (3x-7) = ⁷log (x+5) adalah...
Jawaban
⁷log (3x-7) = ⁷log (x+5)
Karena ruas kanan dan ruas kiri sama-sama ⁷log maka
3x-7 = x+5
3x-x = 5+7
2x = 12
x = 6

Jadi penyelesaian persamaan logaritma ⁷log (3x-7) = ⁷log (x+5) adalah 6.

Soal 10
²log 3 = 1,585 dan ²log 5 = 2,322 maka ²log 45 adalah...
Jawaban
²log 45 = ²log (9⨯5)
= ²log 9 + ²log 5
= ²log 3² + ²log 5
= 2 ²log 3 + ²log 5
= 2(1,585) + (2,322)
= 5,765

Soal 11
Nilai x yang memenuhi persamaan ⁵⁻³ˣlog 81 = ⁸log 27 adalah...
Jawaban
⁵⁻³ˣlog 81 = ⁸log 27
⁵⁻³ˣlog 3⁴ = ²log 3
4 ⁵⁻³ˣlog 3 = ²log 3
4 (1/³log (5-3x)) = ²log 3
4/³log (5-3x) = ²log 3
4 = ²log 3 ³log (5-3x)
4 = ²log (5-3x)
5-3x = 4²
5-3x = 16
-3x = 11
x = -11/3

Soal 12
Diketahui ²log 3 = a dan ²log 5 = b maka nilai dari ²log ³√135 adalah...
Jawaban
²log ³√135 
= 1/3 ²log 135 
= 1/3 ²log (27 ⨯ 5) 
= 1/3 (²log 27 + ²log 5) 
= 1/3 (²log 3³ + ²log 5) 
= 1/3 (3 ²log 3 + ²log 5) 
= 1/3 (3a + b) 
= a + (1/3)b

Soal 13
Himpunan penyelesaian dari ³log (x-5) + ³log (x-2) - ³log (28-4x) = 0 adalah...
Jawaban
³log (x-5) + ³log (x-2) - ³log (28-4x) = 0
³log (x-5) + ³log (x-2) = ³log (28-4x) 
³log (x-5) ⨯ (x-2) = ³log (28-4x) 
Karena ruas kanan dan ruas kiri sama-sama ³log maka
(x-5) ⨯ (x-2) = (28-4x)
x² -7x+10 = 28-4x
x² - 7x + 4x +10 - 28 = 0
x² - 3x - 18 = 0
(x-6) (x+3) = 0
x₁ = 6 atau x₂ = -3

x₂ =-3 bukan himpunan penyelesaian karena tidak berlaku untuk ³log (x-5)<0 dan ³log (x-2)<0. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {6} ³log (28-4x) = 0

Soal 14
Himpunan penyelesaian dari ˣ⁻²log (x+3) = ˣ⁻²log (x²+3x-5) adalah...
Jawaban
ˣ⁻²log (x+3) = ˣ⁻²log (x²+3x-5)
Karena ruas kanan dan ruas kiri sama-sama ˣ⁻²log maka
x+3 = x²+3x-5
x² + 3x-x -5-3 =0
x² + 2x - 8 = 0
(x+4) (x-2) = 0
x=-4 atau x=2

Selidiki apakah f(x)>0 g(x)>0 h(x)>0 dan f(x)#0
a. f(-4) = -4-2 = -6<0
b. f(2) = 2-2 = 0

Karena jika x=4 dan x=2 nilai f(x)≤0 maka x=-4 dan x=2 bukan penyelesaian.
Jadi tidak ada solusi atau himpunan penyelesian ({ }).

Soal 15
Nilai x yang memenuhi ²log ²log (2ˣ⁺¹ + 15) = 1 + ²log x adalah...
Jawaban
²log ²log (2ˣ⁺¹ + 15) = 1 + ²log x
²log ²log (2ˣ⁺¹ + 15) = ²log 2 + ²log x
²log ²log (2ˣ⁺¹ + 15) = ²log 2x
Karena ruas kanan dan ruas kiri sama-sama ²log maka
²log (2ˣ⁺¹ + 15) = 2x
²log (2ˣ⁺¹ + 15) = 2x ⨯ ²log 2
²log (2ˣ⁺¹ + 15) = ²log 2²ˣ
²log (2ˣ⁺¹ + 15) = ²log 2²ˣ
Karena ruas kanan dan ruas kiri sama-sama ²log maka
2ˣ⁺¹ + 15 = 2²ˣ
2²ˣ - 2ˣ⁺¹ - 15 = 0
(2ˣ)² - 2ˣ2¹ - 15 = 0
Misalkan a= 2ˣ maka
a² - 2a - 15 = 0
(a-5)(a+3)=0
a=5 atau a=-3\
a. 2ˣ= 5 maka x = ²log 5
b. 2ˣ = -3 (tidak memenuhi)


Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar