Skip to main content

10 Soal dan Pembahasan Determinan Matriks

Dalam ilmu matematika matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.  Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi (nxn). Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Berikut ini, 10 soal tentang determinan matriks.

Soal 1
Tentukan determinan dari matriks \(A=\left ( \begin{matrix} -2 &-4 \\ 8 &16 \end{matrix} \right )\)
Jawaban:
Rumus yang kita akan gunakan untuk mencari nilai determinan yaitu:
Misalkan diketahui matriks \(B=\left ( \begin{matrix} a &b \\ c &d \end{matrix} \right )\), maka det B = ad – bc
Dengan demikian det (A)= -2(16) – 8(-4)  = -32 – (-32) = -32 + 32 = 0  

Soal 2
Jika nilai determinan dari matriks \(\left ( \begin{matrix} 2a &3 \\ -2 &2 \end{matrix} \right )\) adalah -6, nilai a adalah…
Jawaban: 
Kita misalkan matrik diatas dengan matriks A.
Karena nilai determinan A adalah -6 maka:
2a(2) – (-2)(3) = -6
4a – (-6)  = -6
4a + 6 = -6
4a = -6-6
4a = -12
a= -3
Dengan demikian nilai a adalah -3.

Soal 3
Diketahui determinan \(\left ( \begin{matrix} 5x &x \\ 3x &3 \end{matrix} \right )\) adalah 18, nilai x yang memenuhi adalah…
Jawaban: 
Kita misalkan matrik diatas dengan matriks A.
Karena nilai det (A) adalah 18 maka:
5x(3) – (3x)(x) = 18
15x – (3x²)  = 18
-3x² + 15x – 18 = 0 (dibagi dengan -3)
x² - 5x – 6 = 0
(x+1)(x-6) = 0
x+1 =0 maka x=-1
x-6=0 maka x=6
Dengan demikian nilai x yang memenuhi adalah -1 dan 6.

Soal 4
Tentukan determinan dari matrik \(A=\left ( \begin{matrix} 3 &5 &1 \\ 2 &3 &1 \\ 1 &2 &2 \end{matrix} \right )\).
Jawaban:
Rumus yang kita akan gunakan untuk mencari nilai determinan yaitu:
Misalkan diketahui matriks \(B=\left ( \begin{matrix} a₁ &a₂ &a₃ \\ b₁ &b₂ &b₃ \\ c₁ &c₂ &c₃ \end{matrix} \right )\), maka det B = (a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂) – (a₃b₂c₁ + a₁b₃c₂ + a₂b₁c₃).
Dengan demikian,
det (A)= (3x3x2 + 5x1x1 + 1x2x2) - (1x3x1 + 3x1x2 + 5x2x2) = (18+5+4)-(3+6+20) =27 – 29 = -2.

Soal 5
Tentukan determinan dari matrik \(A=\left ( \begin{matrix} -4 &0 &3 \\ 1 &7 &4 \\ 2 &5 &-1 \end{matrix} \right )\).
Jawaban:
Rumus yang kita akan gunakan sama seperti soal sebelumnya yaitu = (a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂) – (a₃b₂c₁ + a₁b₃c₂ + a₂b₁c₃).
Dengan demikian, 
det (A) = (-4x7x-1 + 0x4x2 + 3x1x5) - (3x7x2 + -4x4x5 + 0x1x-1) 
= (28+0+15)-(42+-80+0) 
= 43 –(-38) = 81

Soal 6
Jika \(A=\left ( \begin{matrix} 3 &5 \\ 2 &-1 \end{matrix} \right )\), \(B=\left ( \begin{matrix} 2 &a \\ 9 &-3 \end{matrix} \right )\) dan \(C=\left ( \begin{matrix} 3 &2 \\ 4 &1 \end{matrix} \right )\). Jika determinan matriks 2A+B-3C adalah 1, maka nilai a adalah….
Jawaban:
Mathematics
Karena det (2A+B-3C) = 1 maka:
det (2A+B-3C) = 1
 (-1)(-8) – (1)(4+a) = 1 
8-4-a = 1
4-a=1
a=3

Soal 7
Diketahui  \(P=\left ( \begin{matrix} 1 &4 \\ 2 &-1 \end{matrix} \right )\),\(Q=\left ( \begin{matrix} 5 &3 \\ 0 &1 \end{matrix} \right )\) dan \(R=\left ( \begin{matrix} 1 &1 \\ 3 &4 \end{matrix} \right )\). Determinan matriks (P+Q-2R) adalah…
Jawaban:
Langkah awal mari kita hitung 2R.
\[R=\left ( \begin{matrix} 1 &1 \\ 3 &4 \end{matrix} \right )\]
\[2R=2\left ( \begin{matrix} 1 &1 \\ 3 &4 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 2 &2 \\ 6 &8 \end{matrix} \right )\]

Langkah kedua akan kita hitung P+Q-2R.
Mathematics
Langkah terakhir akan kita cari determinan dari P+Q-2R
det (P+Q-2R)= 4(-8) – (-4)(5) = -32 – (-20)  = -32  +20  = -12
Dengan demkian nilai dari determinan dari matriks P+Q-2R adalah -12. 

Soal 8
Diketahui matriks \(P=\left ( \begin{matrix} -2 &1 \\ 6 &4 \end{matrix} \right )\). Tentukan determinan matriks S jika S=-4P.
Jawaban:
Sebelum mencari nilai determinannya, kita cari terlebih dahulu S=-4P
\(P=\left ( \begin{matrix} -2 &1 \\ 6 &4 \end{matrix} \right )\)
S=-4P 
\(S=-4\left ( \begin{matrix} -2 &1 \\ 6 &4 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 8 &-4 \\ -24 &-16 \end{matrix} \right )\)
Setelah mendapatkan nilai S, sekarang kita akan memcari nilai determinan dari S.
det (S) = -16(8) – (-24)(-4) = -128 – 96 = -224
Dengan demikian nilai determinan S adalah -224.

Soal 9
Diketahui matriks \(A=\left ( \begin{matrix} 4 &2 \\ 3 &-4 \end{matrix} \right )\) dan \(B=\left ( \begin{matrix} 5 &-3 \\ 2 &1 \end{matrix} \right )\). Jika AC=B dan C¯¹ adalah invers matriks C, maka determinan dari matriks C¯¹ adalah…
Jawaban:
Sebelum mencari nilai determinan dari matriks C¯¹, kita cari dahulu invers dari matriks C.
Karena AC= B maka C¯¹ = B¯¹A
Matriks A telah diketahui pada soal sedangkan B¯¹ belum diketahui. Oleh karena itu akan kita cari B¯¹ dari matriks B yang telah diketahui pada soal.
\[B=\left ( \begin{matrix} 5 &-3 \\ 2 &1 \end{matrix} \right )\]
Rumus yang akan kita gunakan untuk mencari invers dari suatu matriks yaitu:
Misalkan matriks \(P=\left ( \begin{matrix} a &b \\ c &d \end{matrix} \right )\), maka invers dari matriks P adalah:
\[P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left ( \begin{matrix} d &-b \\ -c &a \end{matrix} \right )\]
Dengan demikian 
Mathematikan
Karena B¯¹ sudah ditemukan selanjutnya akan kita cari C¯¹ = B¯¹A
Mathematics
Dengan demikian kita dapat mencari nilai determinan dari matriks C¯¹.
det (C¯¹) = 13⁄11×(-24)⁄11-7⁄11×(-10)⁄11=(-312)⁄121-(-70)⁄121=(-242)⁄121= -2   


Soal 10
Jika \(P=\left ( \begin{matrix} 2 &0 \\ -1 &1 \end{matrix} \right )\) dan \(Q=\left ( \begin{matrix} 3 &-2 \\ -1 &4 \end{matrix} \right )\). Jika R=3P-2Q, determinan R adalah…
Jawaban:

R=3P-2Q  
\(=3\left ( \begin{matrix} 2 &0 \\ -1 &1 \end{matrix} \right )-2\left ( \begin{matrix} 3 &-2 \\ -1 &4 \end{matrix} \right )\)
\(=\left ( \begin{matrix} 6 &0 \\ -3 &3 \end{matrix} \right )-\left ( \begin{matrix} 6 &-4 \\ -2 &8 \end{matrix} \right )\)
\(=\left ( \begin{matrix} 0 &4 \\ -1 &-5 \end{matrix} \right )\)

Dengan demikian,
det (R) = (0)(-5) – (-1)(4) = 0-(-4) = 4

Pelajari Juga:
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar