--> Skip to main content

25 Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Pada contoh soal limit kali ini kita akan fokus pada soal limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri. Untuk mempermudah memjawab soal-soal berikut, Gengs juga harus menguasai materi tentang fungsi lebih khususnya fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Tanpa menulis panjang lebar lagi, berikut ini 25 contoh soal limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri.

Soal 1
Tentukan  \( \lim_{x\rightarrow 2}(6x-1) \)
Jawab
Untuk menjawab soal seperti ini kita hanya perlu mensubstitusikan nilai x=2.
\(\lim_{x\rightarrow 2}(6x-1)\)=6(2) - 1= 12 - 1 = 11

Soal 2
Carilah \(\lim_{x\rightarrow 3}(x-7)\)
Jawab
Sama halnya dengan nomor 1, pada soal ini pun kita hanya perlu mensustitusikan nilai x.
\(\lim_{x\rightarrow 3}(x-7)\) = 3 - 7 = -4

Soal 3
Nilai \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}\) adalah...
Jawab
Pada soal nomor 3 ini, apabila kita langsung substitusikan nilai x maka kita akan peroleh 0/0. Oleh karena itu kita harus lakukan teknik aljabar dasar berupa:
1. Faktorkan pembilang atau penyebut
2. Rasionalkan pembilang atau penyebut
Pada kasus ini kita akan faktorkan pembilangnya yaitu x³-1 = (x-1)(x²+x+1)
\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}+x+1\)
\(=1^{2}+1+1=3\)

Soal 4
Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}\)
Jawab
Pada soal ini pun apabila kita substitusikan x=2 maka akan kita peroleh 0/0. Sehingga kita perlu melakukan perhitungan aljabar dasar dengan memfaktorkan pembilangnya. Dengan demikian akan kita peroleh sebagai berikut.
\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}x+2=2+2=4\)

Soal 5
Tentukan nilai \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-2x-3}{2x-2}\)
Jawab
Hasil yang kita peroleh jika kita substitusikan x=1 adalah 0/0. Karena  hasilnya 0/0 maka akan dilakukan perhitungan aljabar sederhana. Jika kita lihat dari bentuk soalnya maka kita akan faktorkan pembilang dan penyebut. Berikut ini pengerjaan lebih lanjutnya.
\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-2x-3}{2x-2}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+3)(x-1)}{2(x-1)}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+3}{2}\)
\(=\frac{1+3}{2}\)
\(=2\)

Soal 6
Tentukan nilai \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-x-6}{x-3}\)
Jawab
Soal ini pun kita harus melakukan perhitungan aljabar sederhana.
\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-x-6}{x-3}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+2)}{x-3}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 3}(x+2)\)
\(=3+2=5\)

Soal 7
Tentukan nilai \(\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}+2x-1)\)
Jawab
Untuk menjawab soal ini, caranya sama seperti kita mengerjakan soal nomor 1 dan 2. Kita hanya perlu mensubstitusikan x=-2
\(\lim_{x\rightarrow -2}(x^{2}+2x-1)\)= -2² + 2(-2) - 1 = -2  

Soal 8
Tentukan nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-2x^{2}}{x^{2}-4}\)
Jawab
Untuk mempermudah menjawab soal ini akan kita faktorkan pembilang dan penyebut sedemikian rupa sehingga apabila kita substitusikan nilai x hasilnya tidak 0/0.
\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{3}-2x^{2}}{x^{2}-4}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}(x-2)}{(x-2)(x+2)}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}}{x+2}\)
\(=\frac{2^{2}}{2+2}=1\)

Soal 9
Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}\)
Jawab
Pada soal ini kita akan kerjakan bukan lagi dengan memfaktorkan pembilang atau penyebutnya.
Pada soal ini kita akan rasionalkan penyebutnya seperti berikut ini.
\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}\times \frac{{3+\sqrt{x^{2}+5}}}{{3+\sqrt{x^{2}+5}}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(4-x^{2})(3+\sqrt{x^{2}+5})}{9-(x^{2}+5)}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(4-x^{2})(3+\sqrt{x^{2}+5})}{-x^{2}+4}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}3+\sqrt{x^{2}+5}\)
\(=3+\sqrt{2^{2}+5}\)
\(=3+3=6\)

Soal 10
Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{(x+4)(x-2)^{4}}}{(3x-6)^{2}}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{(x+4)(x-2)^{4}}}{(3x-6)^{2}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+4}\sqrt{(x-2)^{4}}}{(3x-6)(3x-6)}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+4}(x-2)^{2}}{(3(x-2))(3(x-2))}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+4}(x-2)^{2}}{9(x-2)^{2}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+4}}{9}\)
\(=\frac{\sqrt{2+4}}{9}\)
\(=\frac{\sqrt{6}}{9}\)

Soal 11
Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x}+1=\sqrt{1}+1=2\)

Soal 12
Tentukan nilai \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x}\)
Jawab
Perlu kita ingat:
cos A - cos B = -2 sin ½ (A+B) sin ½ (A-B)
Maka
cos 2x - cos 7x = -2 sin ½ (2x+7x) sin ½ (2x-7x)
= -2 sin ½ (9x) sin ½ (-5x)
= -2 sin (9/2 x) sin (-5/2 x)

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x}\)
=\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\tan 5x}{2\sin \frac{9}{2}x\sin -\frac{5}{2}x}\)
=\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}\frac{x \tan 5x}{\sin \frac{9}{2}x\sin \frac{5}{2}x}\)
=\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}\times \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin \frac{9}{2}x}\times \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 5x}{\sin \frac{5}{2}x}\)
=\(\frac{1}{2}\times \frac{2}{9}\times \frac{5}{\frac{5}{2}}\)
=\(\frac{2}{9}\)

Soal 13
Carilah nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x+1}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x+1}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sin ^{2}(\frac{1}{2}x)}{x+1}\)
\(=\frac{1-\sin ^{2}(0)}{0+1}\)
\(=\frac{1-0}{1}=1\)

Soal 14
Tentukan nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 4x-1}{-4x^{2}}\)
Jawab
Perlu diingat :
\(\cos nx=1-2\sin ^{2}\left ( \frac{n}{2}x \right )\)
\(\cos 4x=1-2\sin ^{2}\left ( \frac{4}{2}x \right )\)
\(=1-2\sin ^{2}(2x)\)

Jika kita telah menghafalkan rumus di atas, soal seperti ini akan mudah dikerjakan. Berikut pengerjaannya.
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 4x-1}{-4x^{2}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-2\sin ^{2}(2x))-1}{-4x^{2}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\sin ^{2}(2x)}{-4x^{2}}\)
\(=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{2}(2x)}{4x^{2}}\)
\(=2\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x} \right )^{2}\)
\(=2\lim_{x\rightarrow 0}1^{2}=2\)

Soal 15
Carilah nilai dari \(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{1-\sin 2x}{\cos ^{2}2x}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{1-\sin 2x}{\cos ^{2}2x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{1-\sin 2x}{1-\sin ^{2}2x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{1-\sin ^{2}2x}{(1+\sin 2x)(1-\sin 2x)}\)
\(=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+\sin 2x}\)
\(=\frac{1}{1+\sin 2(\frac{\pi }{4})}\)
\(=\frac{1}{1+\sin \frac{\pi }{2}}\)
\(=\frac{1}{1+\sin 90}\)
\(=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)

Soal 16
Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x}{x+\sin 3x}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x}{x+\sin 3x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{x+\sin 3x}{x}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{\sin 3x}{x}}\)
\(=\frac{4}{1+4}=1\)

Soal 17
Tentukan nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{2x\sin 3x}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{2x\sin 3x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\sin ^{2}\frac{1}{2}x}{2x\sin 3x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2(\sin \frac{1}{2}x)(\sin \frac{1}{2}x)}{2x\sin 3x}\)
\(=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{2x}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{\sin 3x}\)
\(=(2)\left ( \frac{1}{4} \right )\left ( \frac{1}{6} \right )\)
\(=\frac{1}{12}\)


Soal 18
Tentukan nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\tan 2x}{1-\cos 6x}\)
Jawab
Perlu di hafakkan:
1 - Cos 6x 
= 1 - (cos² 3x - sin² 3x)
= 1 - [(1-sin² 3x) - sin² 3x]
= 1 - (1-2 sin² 3x)
= 2 sin² 3x

Selain kita harus menghafalkan beberapa rumus, kita juga perlu melakukan trik-trik khusus. Seperti yang akan kita lakukan pada perhitungan berikut. Trik pada soal ini yaitu kalikan penyebut dan pembilangnya dengan 9x.

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\tan 2x}{2\sin ^{2}3x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x)(\tan 2x)(9x)}{2(\sin ^{2}3x)(9x)}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\tan 2x)(9x^{2})}{9(2x)(\sin ^{2}3x)}\)
\(=\frac{1}{9}\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\tan 2x}{2x} \right )\left ( \frac{9x^{2}}{\sin ^{2}3x} \right )\)
\(=\frac{1}{9}\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\tan 2x}{2x} \right )\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{3x}{\sin 3x} \right )^{2}\)
\(=\frac{1}{9}(1)(1)^{2}=\frac{1}{9}\)

Soal 19
Nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 4x-1}{x\tan 2x}\) adalah...
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 4x-1}{x\tan 2x}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( 1-2\sin ^{2}\frac{4x}{2} \right) -1}{x\tan 2x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\sin ^{2}2x}{x\tan 2x}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\sin 2x\sin 2x}{x\tan 2x}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 0}-2 \times \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{\tan 2x}\times \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}\)
\(=-2\times \lim_{x\rightarrow 0}\cos 2x\times 2\)
\(=-2\times \cos 0\times 2\)
\(=-2\times 1\times 2=-4\)

Soal 20
Nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+\sin 3x}{x\cos x}\) adalah...
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+\sin 3x}{x\cos x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x}{x}+\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{x\cos x}{x}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+3}{\cos x}\)
\(=\frac{4}{\cos 0}=\frac{4}{1}=4\)

Soal 21
Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x^{2}}{1-\cos 2x}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x^{2}}{1-\cos 2x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x^{2}}{2\sin ^{2}x}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4}{2}\frac{x^{2}}{\sin ^{2}x}\)
\(=2\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{x}{\sin x} \right )^{2}=2(1)^{2}=2\)

Soal 22
Tentukan \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}\sin (x-3)\cos (2x-6)}{9-3x}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}\sin (x-3)\cos (2x-6)}{9-3x}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}\sin (x-3)\cos (2x-6)}{3(3-x)}\)
\(= \lim_{x\rightarrow 3}x^{2}\times \frac{\sin (x-3)}{3(3-x)}\times \cos (2x-6)\)
\(= \lim_{x\rightarrow 3}x^{2}\times \lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sin (x-3)}{3(3-x)}\times \lim_{x\rightarrow 3}\cos (2x-6)\)
\(=9\times \lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sin (x-3)}{-3(x-3)}\times \lim_{x\rightarrow 3}\cos (2x-6)\)
\(=9\times \left ( -\frac{1}{3} \right )\times \cos 0=-3\)

Soal 23
Tentukan nilai dari \(\lim_{x\rightarrow \infty }3x-2-\sqrt{9x^{2}-2x-5}\)
Jawab
Untuk menjawab soal ini kita harus merasionalkan bentuk tersebut. Seperti yang akan dilakukan berikut ini.
 
\(\lim_{x\rightarrow \infty }3x-2-\sqrt{9x^{2}-2x-5}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }3x-2-\sqrt{9x^{2}-2x-5}\times \frac{3x-2+\sqrt{9x^{2}-2x-5}}{3x-2+\sqrt{9x^{2}-2x-5}}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(3x-2)^{2}-(9x^{2}-2x-5)}{3x-2+\sqrt{9x^{2}-2x-5}}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(3x-2)(3x-2)-(9x^{2}-2x-5)}{3x-2+\sqrt{9x^{2}-2x-5}}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{9x^{2}-12x+4-9x^{2}+2x+5}{3x-2+\sqrt{9x^{2}-2x-5}}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-10x+9}{3x-2+\sqrt{9x^{2}-2x-5}}\)

Setelah kita merasionalkan bentuk di atas dan apabila kita substitusi x=∞ maka kita akan memperoleh ∞/∞. Oleh karena itu kita harus melakukan satu langkah lagi yaitu membagi dengan variabel yang pangkatnya paling tinggi. Perhatikan pengerjaan berikut.

\(\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-\frac{10x}{x}+\frac{9}{x}}{\frac{3x}{x}-\frac{2}{x}+\sqrt{\frac{9x^{2}}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x^{2}}}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-10+\frac{9}{x}}{3-\frac{2}{x}+\sqrt{9-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}}}\)
\(=\frac{-10+0}{3-0+\sqrt{9}}\)
\(=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}\)

Soal 24
Carilah \(\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right )\sqrt{x+1}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right )\sqrt{x+1}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt{x+1}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\sqrt{x+1}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }(x+1)-\sqrt{x(x+1)}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }(x+1)-\sqrt{x^{2}+x}\)
\(= \lim_{x\rightarrow \infty }(x+1)-\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt{x^{2}+x}\)
\(=1-\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}\)

Soal 25
Tentukan nilai dari \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\tan ^{2}x}\)
Jawab
\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\tan ^{2}x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos ^{2}x(1-\cos x)}{1-\cos ^{2}x}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos ^{2}x(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\)
\(=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos ^{2}x}{1+\cos x}\)
\(=\frac{\cos ^{2}0}{1+\cos 0}\)
\(=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)


Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar