Pada kesempatan kali ini, saya akan berbagi tentang “cara menentukan titik kritis”. Pada postingan ini, saya hanya akan memberikan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.
Definisi Bilangan Kritis
Titik dalam c anggota dari $D_f$ yang bersifat f'(c)=0 ataukah f'(c) tidak ada disebut bilangan (titik) kritis fungsi f.
Tanpa basa-basi, berikut contoh-contohnya.
Nomor 1
Carilah titik kritis dari fungsi berikut: f(x)=$x^2$ – 6x + 5Pembahasan:
Pertama-tama, mari kita turunkan f(x) tersebut sebagai berikut:
f(x)=$x^2$ – 6x + 5
f’(x)=2x-6
Kedua, membuat f’(x)=0 seperti berikut:
2x-6=0
2x=6
x=3
Maka, nilai titik kritis dari f(x) tersebut adalah 3
Nomor 2
Carilah titik kritis dari fungsi berikut: f(x)=$x^4$-4xPembahasan:
Seperti pada pembahasan soal sebelumnya. Pertama-tama mari kita tentukan f’(x)-nya terlebih dahulu.
f(x)=$x^4$-4x
f’(x)=4$x^3$-4
=4($x^3$ – 1)
= 4 (x-1) ($x^2$ + x +1)
Selanjutnya, kita buat f’(x) tersebut menjadi f’(x)=0.
4(x-1)($x^2$ + x + 1) = 0
x-1=0
x=1
$x^2$ + x + 1=0 tidak mempunya penyelesaian. Kok bisa?? Coba Gengs mencari nilai determinanya.
D=$b^2$-4ac = $1^2$ – 4 (1)(1)=-3
Diperoleh D < 0. Karena D<0 maka $x^2$ + x + 1 tidak mempunyai penyelesaian.
Dengan demikian nilai kritis dari fungsi tersebut yaitu 1
Nomor 3
Carilah nilai kritis dari f(t)=pi – $(t-2)^{2/3}$Pembahasan:
Langkah pertama. Turunkan fungsi f(t) tersebut.
f(t)= pi – $(t-2)^{2/3}$
f’(t) =-(2/3) $(t-2)^ {-1/3}$ (1)
= -(2/3) $(t-2)^{-1/3}$
Langkah kedua.
f’(t)=0
-2/3 $(t-2)^{-1/3}$ = 0
-2 /[$3(t-2)^{1/3}$]=0
Maka, tidak ada titik stasioner.
Langkah ketiga: Karena untuk mendapatkan nilai kritis, kita tidak memperolehnya dari titik stasioner maka kita harus mencari dari titik singular. Dengan cara seperti berikut ini:
f’(t) tidak ada jika 3 $(t-2)^{1/3}$ = 0
3 $(t-2)^{1/3}$ = 0
$(t-2)^{1/3}$ = 0 [masing masing ruas dikali 3]
t-2=0 [masing-masing ruas dipangkatkan 1/3]
t=2
Dengan demikian titik kritis dari fungsi tersebut adalah 2.
Nomor 4
Carilah titk kritis dari fungsi f(x)=$(x-2)^5$Pembahasan
Langkah pertama:
f’(x)=5$(x-2)^4$ (1)
=5$(x-2)^4$
Langkah kedua:
f’(x)=0
5$(x-2)^4$=0
$(x-2)^4$=0
x-2=0
x=2
Dengan demikian titik kritis dari fungsi tersebut adalah 2
Pada keempat contoh diatas, kita mencari nilai kritis tanpa diketahui batas-batas nya. Pada beberapa contoh berikut akan saya tambahkan batas-batasnya.
Nomor 5
Carilah titik kritis dari f(x)=6akarx – 4x , [0,4]Pembahasan
Langkah pertama:
f’(x)=6(1/2)$x^{-1/2}$- 4
= (3) $x^{-1/2}$ -4
Langkah kedua: membuat f’(x)=0 (mencari titik stasioner)
(3 )/ [ $x^ {1/2}$] - 4=0
(3 )/ [ $x^ {1/2}$]=4
$x^ {1/2}$ = 3/4
x=9/16
Dengan demikian titik kritis dari fungsi tersebut adalah 9/16. 9/16 termasuk titik kritis karena 9/16 berada pada 0 dan 4.
CATATAN:
1. Titik kritis tidak terjadi di titik ujung selang
2. Klasifikasi bilangan/titik kritik
a. titik stasioner
f'(c)=0; garis singgung datar
b. titik singular c
f'(c) tidak ada: grafik runcing, tidak kontinu, garis singgung tegak.
Nomor 6
Tentukan nilai kritis dari f(x)=$x^2$ – 2x, [0,4]Pembahasan:
Langkah 1
f(x)=$x^2$ – 2x
f’(x) = 2x-2
Langkah 2
f’(x)=0
2x-2=0
2x=2
x=1
Karena 1 merupakan anggota dari [0,4] maka 1 merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.
Nomor 7
Tentukan nilai kritis dari f(x)=3$x^4$ – 4$x^3$, [-2,3]Pembahasan:
Langkah 1
f’(x) = 12$x^3$ – 12$x^2$
Langkah 2
f’(x)=0
12$x^3$ – 12$x^2$ = 0
$x^3$ – $x^2$ = 0
$x^2$ (x-1)=0
x =0 dan x =1
Karena 0 dan 1 merupakan anggota dari [-2,3] maka 0 dan 1 merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.
Nomor 8
Tentukan nilai kritis dari f(x)=2$x^5$ – 5$x^4$ + 7, [-1,3]Pembahasan:
Langkah 1
f’(x) = 10$x^4$ – 20$x^3$
Langkah 2
f’(x)=0
10$x^4$ – 20$x^3$ = 0
$x^4$– 2$x^3$ = 0
$x^3$ (x-2)=0
x =0 dan x =2
Karena 0 dan 2 merupakan anggota dari [-1,3] maka 0 dan 2 merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.
Nomor 9
Tentukan nilai kritis dari f(x)=1/$x^2$, [-2,-1]Pembahasan:
Langkah 1
f(x)=x^{-2}
f’(x) = (-2) $x^{-3}$
= -2 / $x^3$
Langkah 2
f’(x)=0
-2 / $x^3$ = 0
Maka tidak ada bilangan stasioner.
Langkah 3
f’(x) tidak ada jika x^3 = o
x=0
Karena 0 bukan merupakan anggota dari [-2,-1] maka 0 bukan titik kritis dari fungsi tersebut.
Dengan demikian fungsi tersebut tidak memiliki titik kritis pada [-2,-1].
Bagaimana Gengs?? Mudah kah!!! Pada postingan selanjutnya saya aka memposting cara untuk menetukan nilai ektrimum lokal dan ekstrimum global..
Semoga Bermanfaat.
