Cara Menentukan Titik Kritis

Hallo Gengs, bagaimana kabar kalian hari ini?
Pada kesempatan kali ini, saya akan berbagi tentang “cara menentukan titik kritis”. Pada postingan ini, saya hanya akan memberikan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.

Definisi Bilangan Kritis
Titik dalam c anggota dari $D_f$ yang bersifat f'(c)=0 ataukah f'(c) tidak ada  disebut bilangan (titik) kritis fungsi f.



Tanpa basa-basi, berikut contoh-contohnya.

Nomor 1

Carilah titik kritis dari fungsi berikut: f(x)=$x^2$ – 6x + 5
Pembahasan:
Pertama-tama, mari kita turunkan f(x) tersebut sebagai berikut:
f(x)=$x^2$ – 6x + 5
f’(x)=2x-6
Kedua, membuat f’(x)=0 seperti berikut:
2x-6=0
2x=6
x=3
Maka, nilai titik kritis dari f(x) tersebut adalah 3

Nomor 2

Carilah titik kritis dari fungsi berikut: f(x)=$x^4$-4x
Pembahasan:
Seperti pada pembahasan soal sebelumnya. Pertama-tama mari kita tentukan f’(x)-nya terlebih dahulu.
f(x)=$x^4$-4x
f’(x)=4$x^3$-4
=4($x^3$ – 1)
= 4 (x-1) ($x^2$ + x +1)
Selanjutnya, kita buat f’(x) tersebut menjadi f’(x)=0.
4(x-1)($x^2$ + x + 1) = 0
x-1=0
x=1

$x^2$ + x + 1=0  tidak mempunya penyelesaian. Kok bisa?? Coba Gengs mencari nilai determinanya.
D=$b^2$-4ac = $1^2$ – 4 (1)(1)=-3
Diperoleh D < 0. Karena D<0 maka $x^2$ + x + 1 tidak mempunyai penyelesaian.
Dengan demikian nilai kritis dari fungsi tersebut yaitu 1

Nomor 3

Carilah nilai kritis dari f(t)=pi – $(t-2)^{2/3}$
Pembahasan:
Langkah pertama. Turunkan fungsi f(t) tersebut.
f(t)= pi – $(t-2)^{2/3}$
f’(t) =-(2/3) $(t-2)^ {-1/3}$ (1)
= -(2/3) $(t-2)^{-1/3}$
Langkah kedua.
f’(t)=0
-2/3 $(t-2)^{-1/3}$ = 0
-2 /[$3(t-2)^{1/3}$]=0
Maka, tidak ada titik stasioner.
Langkah ketiga: Karena untuk mendapatkan nilai kritis, kita tidak memperolehnya dari titik stasioner maka kita harus mencari dari titik singular. Dengan cara seperti berikut ini:
f’(t) tidak ada jika 3 $(t-2)^{1/3}$ = 0
3 $(t-2)^{1/3}$ = 0
$(t-2)^{1/3}$ = 0    [masing masing ruas dikali 3]
t-2=0    [masing-masing ruas dipangkatkan 1/3]
t=2
Dengan demikian titik kritis dari fungsi tersebut adalah 2.

Nomor 4

Carilah titk kritis dari fungsi f(x)=$(x-2)^5$
Pembahasan
Langkah pertama:
f’(x)=5$(x-2)^4$ (1)
=5$(x-2)^4$
Langkah kedua:
f’(x)=0
5$(x-2)^4$=0
$(x-2)^4$=0
x-2=0
x=2
Dengan demikian titik kritis dari fungsi tersebut adalah 2

Pada keempat contoh diatas, kita mencari nilai kritis tanpa diketahui batas-batas nya. Pada beberapa contoh berikut akan saya tambahkan batas-batasnya.

Nomor 5

Carilah titik kritis dari f(x)=6akarx – 4x , [0,4]
Pembahasan
Langkah pertama:
f’(x)=6(1/2)$x^{-1/2}$- 4
= (3) $x^{-1/2}$ -4

Langkah kedua: membuat f’(x)=0 (mencari titik stasioner)
(3 )/ [ $x^ {1/2}$] - 4=0
(3 )/ [ $x^ {1/2}$]=4
$x^ {1/2}$ = 3/4
x=9/16
Dengan demikian titik kritis dari fungsi tersebut adalah 9/16. 9/16 termasuk titik kritis karena 9/16 berada pada 0 dan 4.




CATATAN:
1. Titik kritis tidak terjadi di titik ujung selang
2. Klasifikasi bilangan/titik kritik
a. titik stasioner
    f'(c)=0; garis singgung datar
b. titik singular c
    f'(c) tidak ada: grafik runcing, tidak kontinu, garis singgung tegak.
       

Nomor 6

Tentukan nilai kritis dari f(x)=$x^2$ – 2x, [0,4]
Pembahasan:
Langkah 1
f(x)=$x^2$ – 2x
f’(x) = 2x-2
Langkah 2
f’(x)=0
2x-2=0
2x=2
x=1
Karena 1 merupakan anggota dari [0,4] maka 1 merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.

Nomor 7

Tentukan nilai kritis dari f(x)=3$x^4$ – 4$x^3$, [-2,3]
Pembahasan:
Langkah 1
f’(x) = 12$x^3$ – 12$x^2$
Langkah 2
f’(x)=0
12$x^3$ – 12$x^2$ = 0
$x^3$ – $x^2$ = 0
$x^2$ (x-1)=0
x =0 dan x =1
Karena 0 dan 1 merupakan anggota dari [-2,3] maka 0 dan 1 merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.

Nomor 8

Tentukan nilai kritis dari f(x)=2$x^5$ – 5$x^4$ + 7, [-1,3]
Pembahasan:
Langkah 1
f’(x) = 10$x^4$ – 20$x^3$
Langkah 2
f’(x)=0
10$x^4$ – 20$x^3$ = 0
$x^4$– 2$x^3$ = 0
$x^3$ (x-2)=0
x =0 dan x =2
Karena 0 dan 2 merupakan anggota dari [-1,3] maka 0 dan 2 merupakan titik kritis dari fungsi tersebut.

Nomor 9

Tentukan nilai kritis dari f(x)=1/$x^2$, [-2,-1]
Pembahasan:
Langkah 1
f(x)=x^{-2}
f’(x) = (-2) $x^{-3}$
= -2 / $x^3$
Langkah 2
f’(x)=0
-2 / $x^3$ = 0
Maka tidak ada bilangan stasioner.
Langkah 3
f’(x) tidak ada jika x^3 = o
x=0
Karena 0 bukan merupakan anggota dari [-2,-1] maka 0 bukan titik kritis dari fungsi tersebut.
Dengan demikian fungsi tersebut tidak memiliki titik kritis pada [-2,-1].

Bagaimana Gengs?? Mudah kah!!! Pada postingan selanjutnya saya aka memposting cara untuk menetukan nilai ektrimum lokal dan ekstrimum global..

Semoga Bermanfaat.