Skip to main content

Integral-Luas Daerah yang Dibatasi Kurva [Contoh Soal dan Pembahasan]

Intinya pada postingan kali ini saya akan memberikan contoh tentang aplikasi integral dalam menghitung luas daerah yang dibatasi sebuah kurva.

Soal 1
Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan...

Jawab   
Pada gambar di atas terdapat sebuah garis dan parabola. Kita akan tentukan persamaan garis dan persamaan parabola tersebut.

Persamaan garis
Jika kita perhatikan, garis tersebut melalui titik (0,3) dan (1,4)
Kita telah peroleh persamaan garisnya y=x+3

Persamaan parabola
Selanjutnya kita akan cari persamaan parabola.
Pertama-tama kita lihat, persamaan parabola tersebut yaitu x² dan melalui titik berapa saja. Dari gambar tersebut, parabola tersebut melalui titik (0,0) dan (2,4).

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah:
L total=L₁+ L₂

Kita akan menghitung L₁, sebagai berikut:
Selanjutnya, kita akan menghitung L₂, sebagai berikut:

Jadi L total-nya yaitu:
L_total=19/6+5/3
=(19+10)/6
=29/6 satuan luas

Mengapa luas totalnya L₁+ L₂?? Karena pada gambar apabila kita perhatikan dengan seksama, terdapat garis miring dan garis lurus dimana garis miring merupakan titik potong pertama dan garis lurus merupakan titik potong kedua. Oleh karena itu luasnya terbagi menjadi dua dan keduanya harus kita jumlahkan.

Soal 2
Berbeda dengan soal berikut ini.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x² dan garis x+y=6 adalah...
Jawab:
Berdasarkan soal tersebut, dapat kita lihat bahwa hanya terdapat satu titik potong  yaitu:
x²=6-x
x²+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
x=-3 atau x=2

Pada soal 2 di atas persamaan parabola dan persamaan garisnya telah diketahui. Agar kita dapat melihat perbedaan soal 1 dan soal 2. Mari kita konversia kedua persamaan tersebut dalam sebuah gambar.

Dengan demikian luas daerahnya yaitu:

Soal 3
Tentukan luas daerah di bawah kurva dari gambar berikut ini!

Jawab
Dari gambar tersebut:
y=ln(x)
Titik potongnya: x=1 atau x=e
Dengan demikian:
Kita akan mencari integral dari ln(x) terlebih dahulu.
Misal: u=ln(x) dan dv=dx
Maka: du=d ln(x) dan v=x

Jadi,

Tiga soal diatas metode pengerjaannya kita tinjau dari sisi tegak atau sering disebut sekatan  tegak sedangkan soal 4 dan soal 5 berikut akan kita kerjakan dengan meninjau sisi datar atau sekatan datar.

Soal 4
Tentukan luas daerah antara kurva y=ln(x), sumbu x, sumbu y, garis y=1
Jawab:
Pertama-tama mari kita gambarkan terlebih dahulu
GAMBAR
y= ln(x) (apabila sekatan tegak)
x=eʸ (sekatan datar)
Dari gambar dapat kita lihat, titik potong untuk sekatan datar yaitu (0,1) maka:
Apabila kita menggunakan sekatan tegak, hasilnya pun akan sama.

Soal 5
Tentukan luas  daerah yang dibatasi kurva x=y², x=y+2, y>=0.
Jawab:
Pertama-tama mari kita cari titik potong untuk sketsa datar
y² =y+2
y²-y-2=0
(y-2)(y+1)
y=2 atau y=-1

Jika berdasarkan titik potong tersebut akan dihasilkan gambar seperti berikut:


Namun pada soal diketahui bahwa y≥0 maka gambarnya akan menjadi:


Dengan demikian,


Demikian kelima contoh soalnya, semoga tidak membingungkan.

Semoga Bermanfat.
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar