Skip to main content

Materi Kuliah - Peluang (Contoh dan Pembahasan)

Suatu fenomena dikatakan “acak” jika hasil dari suatu percobaan bersifat tidak pasti. Fenomena “acak” sering mengikuti suatu pola tertentu . Keteraturan “acak” dalam jangka panjang dapat didekati secara matematika. Studi matematika mengenai “keacakan” ---> TEORI PELUANG – peluang merupakan suatu bentuk matematika dari sifat acak tersebut.

Ada dua tipe percobaan yaitu deterministik dan probabilistik. Deterministik adalah suatu percobaan yang menghasilkan output yang sama sedangkan probabilistik adalah hasil dari percobaan bisa sembarang kemungkinan hasil yang ada.

Bagaimana menghitung banyaknya kemungkinan?
a. Perlu pengetahuan mengenai KAIDAH PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PERMUTASI
b. Dapat dihitung peluang kejadian dari suatu percobaan

Ruang Contoh dan Kejadian

Ruang Contoh adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.
Notasi dari ruang contoh adalah sebagai berikut:
S = {e1, e2, …, en},  n = banyaknya hasil
n bisa terhingga atau tak terhingga

Ruang Kejadian

Ruang kejadian adalah anak gugus dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu.
Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf capital, MISALNYA: (A, B, …).

Bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & kejadian?
Agar kita lancar saat akan menghitung banyaknya ruang contoh dan kejadian, kita perlu mengetahui apa itu Faktorial.
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka
n! = n (n-1) (n-2) ... (3) (2) (1)
n! = n (n-1)!

Berikut ini adalah kaidah yang akan digunakan dalam  mencari banyaknya kemungkinan.
1. PENGGANDAAN
Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen-komponen yang saling bebas.
N(S) = n1 x n2 x … x n1
Contoh
Melempar 3 buah mata uang:
N(S) = 2 x 2 x 2 = 8
Melempar 2 buah dadu
N(S) = 6 x 6 = 36

2. PERMUTASI
Permutasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih DIPERHATIKAN.
Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi, dimana jika  Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua.

3. KOMBINASI
Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKAN.
Misalkan memilih sejumlah orang  untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian.

PELUANG

Apa itu peluang??
Peluang dikenal juga dengan probabilitas. Pengertian Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Kata probabilitas itu sendiri sering disebut dengan peluang atau kemungkinan. Probabilitas secara umum merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

PELUANG KLASIK

Pendekatan klasik terhadap penentuan nilai peluang diberikan dengan menggunakan nilai frekuensi relatif.
Andaikan dilakukan percobaan sebanyak N kali, dan kejadian A terjadi sebanyak n  N kali maka peluang A didefinisikan sebagai P(A) = n/N
Hukum bilangan besar
P(A) = m/n

PELUANG SUBYEKTIF

Berapa peluang hidup di mars?
Berapa peluang dapat bertahan hidup dalam kondisi dingin?

Aksioma Peluang
Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:
1. 0  p(xi)  1, untuk i=1,2, …, n
2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1 
3. p(A1+A2+…+Am) =
 p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah.  

CONTOH
Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},  
n(S)=6
jika setiap sisi seimbang maka peluangnya
p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6

Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurang atau sama dengan empat maka ruang kejadiannya:
A = {1, 2, 3, 4},  
n(A) = 4
Maka peluang kejadian A adalah:
P(A) = 4/6 = 2/3

Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, berapa peluang dari tim tersebut terbentuk? 
Kita misalkan :
A= Kejadian terbentuknya Tim yang terdiri 2 laki-laki dan 1 perempuan
Hukum Penjumlahan dalam Peluang 
Jika terdapat dua kejadian A dan B maka 
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika A dan B saling lepas, P(AB) =0, sehingga
P(AB) = P(A) + P(B)

Hukum Perkalian dalam Peluang 
Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
Jika A dan B saling bebas, P(AB) = P(A) P(B)
KEJADIAN SALING BEBAS
Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah: P(AB)=P(A).P(B)

CONTOH
Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6.  Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki?
P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

PELUANG BERSYARAT

Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.

Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), dimana:
P(A/B) = P(AB) / P(B)
Jika kejadian A dengan B saling bebas maka:
P(A/B)=P(AB) / P(B)=P(A).P(B)/P(A)=P(A)

CONTOH
Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan.  Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B).
PENYELESAIAN
Misalkan :
A = terambilnya bola merah pada pengambilan II
B = terambilnya bola biru pada pengambilan I
P(A/B)= P(AB)/P(B)
= (3/5)(2/4)/(3/5)
= 2/4

TEOREMA BAYES

Apa itu teorema Bayes??
Teorema bayes lebih dikenal dengan aturan atau bayes. Teorema ini digunakan untuk menghitung kaidah probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh didapat dari diservasi. Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (misalkan peristiwa A) dengan syarat peristiwa lain(misal peristiwa X) telah terjadi.

Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6.  Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P).  Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4. Berapa peluang hari akan hujan jika diketahui mahasiswa membawa payung?
PENYELESAIAN
Misalkan :
H = Bogor hujan
P = Mahasiswa membawa payung
P(H) = 0.6   P(TH) = 1-0.6=0.4   P(P|H) = 0.8
P(P|TH) = 0.4
Ditanya : P(H|P)
Jawab :

Suatu generator telekomunikasi nir-kabel mempunyai 3 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu didaerah tengah kota, daerah kaki bukit di kota itu  dan daerah tepi pantai, dengan masing-masing mempunyai peluang 0.2; 0.3 dan 0.5. Bila pemancar dibangun ditengah kota, peluang terjadi gangguan sinyal adalah 0.05. Bila pemancar dibangun di kaki bukit, peluang terjadinya gangguan sinyal adalah 0.06.Bila pemancar dibangun di tepi pantai, peluang gangguan sinyal adalah 0.08.
A. Berapakah peluang terjadinya gangguan sinyal?
B. Bila diketahui telah terjadinya gangguan pada sinyal, berapa peluang bahwa operator tsb ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai?
PENYELESAIAN
Misal:
A = Terjadi gangguan sinyal
$B_1$ = Pemancar dibangun di tengah kota
$B_2$ = Pemancar dibangun di kaki bukit
$B_3$ = Pemancar dibangun di tepi pantai
Maka :
A). Peluang terjadinya gangguan sinyal
P(A)=P($B_1$)P(A|$B_1$)+P($B_2$)P(A|$B_2$)+P($B_3$)P(A|$B_3$)
        = (0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)
        = 0.001+0.018+0.04=0.068
B). Diketahui telah terjadi ganguan pd sinyal, maka peluang bahwa operator ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai:
Dapat dinyatakan dengan: “Peluang bersyarat bahwa operator membangun pemancar di tepi pantai bila diketahui telah terjadi gangguan sinyal”:


Demikian materi dan contoh-contoh soalnya.
Semoga Bermanfaat.
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar