Skip to main content

Rumus Peluang, Permutasi dan Kombinasi Matematika Lengkap

Sebelum kita masuk pada rumus peluang, rumus permutasi dan rumus kombinasi matematika. Akan diberikan beberapa definisi dari istilah-istilah penting yang sering digunakan dalam materi peluang. Istilah yang biasa digunakan yaitu ruang sampel, titik sampel dan kejadian. Berikut ini adalah definisinya.
Ruang Sampel
Ruang sampel merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi. 
Titik Sampel
Titik sampel merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel 
Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. 

RUMUS PELUANG MATEMATIKA

Definisi Peluang

Peluang dapat didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa.  
Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi dapat diketahui dengan menggunakan rumus:
Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K) dapat diketahui dengan rumus :
Peluang munculnya kejadian dapat diperkirakan melalui notasi di bawah ini:
Apabila nilai P(K) = 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi
Apabila nilai P(K) = 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi

Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru.

Suatu kejadian K dan kejadian komplemen berupa K' memenuhi persamaan:
P(K) + P(K') = 1 atau P(K') = 1 - P(K)

Penjumlahan Peluang 
Kejadian Saling Lepas
dua buah kejadian A dan B dikatakan saling lepas apabila tak ada satupun elemen pada kejadian A yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian B. untuk dua buah kejadian yang saling lepas, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya adalah:
P(A u B) = P(A) + P(B)

Kejadian Tidak Saling Lepas
Artinya ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskan menjadi:
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Kejadian Saling Bebas
Dua buah kejadian dapat disebut saling bebas bila munculnya kejadian A tidak berpengaruh pada munculnya kejadian B sehingga peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan dapat dituliskan menjadi:
P(A n B) = P(A) x P(B)

Kejadian Bersyarat
kejadian bersyarat terjaid apabila kejadian A mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. maka dapat dituliskan seperti ini:
P(A n B) = P(A) x P(B/A)
atau
P(A n B) = P(B) x P(A/B)



PENGERTIAN PERMUTASI 

Permutasi adalah susunan unsur berbeda yang dibentuk dari n unsur, diambil dari n unsur atau sebagian unsur. 
Permutasi dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam.

Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah P(n,n) = n! atau nPn = n!

Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen dengan r ≤ n 

Misalkan diketahui himpunan memiliki anggota sejumlah n, maka susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan permutasi r dari n, ditulis sebagai P(n,r) dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus permutasi dapat ditulis sebagai berikut.

Agar lebih memahami, coba Gengs perhatikan ilustrasi 1 berikut ini:
Ilustrasi 1: Jika dalam sebuah kotak terdapat 3 bola yang masing-masing berwarna: merah, hijau dan biru. Ada berapa banyak cara atau kemungkinan yang dapat dibentuk jika seandainya seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan ?
Kata kunci dari ilustrasi 1 adalah urutan pengambilan diperbolehkan. Dengan demikian, ini adalah permuatasi. Sehingga jawabannya menjadi :
Merah Hijau    Merah Biru
Hijau Merah    Hijau Biru
Biru  Merah    Biru  Hijau
Jika kita perhatikan ada 6 cara atau 6 kemungkian bola yang akan terambil oleh si Anak tersebut. Jika perhatikan lebih teliti lagi, Merah Hijau dan Hijau Merah adalah dua hal yang berbeda (karena berbeda urutan atau posisinya). Inilah yang dinamakan Permutasi.

Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama 

Misalkan diketahui suatu himpunan memiliki anggota sejumlah n, dimana terdapat $n_1$ anggota jenis 1 yang sama, $n_2$ anggota jenis 2 yang sama, dst  maka permutasi anggota-anggota himpunan tersebut ditulis sebagai P(n;$n_1$,$n_2$,…,$n_k$). Rumus permutasi jika terdapat $n_1$ anggota jenis 1 yang sama, $n_2$ anggota jenis 2 yang sama, dst adalah sebagai berikut.

Permutasi Siklik

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).
P(n) = (n - 1)!
Contoh Permutasi Siklik: Dari 6 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, banyak cara susunan yang dapat dibuat dari 6 orang tersebut adalah!!!!
Jawab:
Banyak orang (n) = 6, maka :
5Psiklis = (6 – 1)! = 5! = 5. 4.3.2.1 = 120 cara.

Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

P(n) = $n^k$
Contoh: Banyak susunan 3 bilangan dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 adalah!!!
Jawab:
Banyak susunan 3 bilangan, berarti bilangan ratusan, k = 3
Banyak angka yang akan disusun, n = 5
Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4 dan 5 yaitu:
P(6) = $5^3$ = 125 susunan.


PENGERTIAN KOMBINASI

Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya. 
Agar lebih memahami apa itu kombinasi, coba Gengs perhatikan ilustrasi 2 berikut ini:
Ilustrasi 2: Misalkan soal permutasi diatas kita ubah dalam konsep kombinasi : Ada berapa banyak cara yang mungkin terjadi jika si Anak dipersilahkan mengambil 2 bola secara acak dalam suatu kotak yang mengandung bolah berwarna : merah, hijau dan biru. Dalam pengambilan bola, urutan tidak diperhatikan artinya tidak diizinkan tentang urutan.
Kata kuncil dari ilustrasi 2 adalah urutan pengambilan tidak diperbolehkan.  Sehingga harus kita jawab dalam bentuk kombinasi :
Merah Hijau 
Merah Biru
Hijau Biru 
Dengan demikian hanya terdapat tiga cara, kombinasi cara lain akan bermakna sama atau dianggap satu, seperti : Merah Hijau dengan Hijau Merah akan dianggap satu cara.

Rumus Kombinasi Matematika
Misalkan diketahui himpunan memiliki anggota sejumlah n, maka pemilihan r buah anggota dinamakan kombinasi r dari n, ditulis sebagai C(n,r) dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut. 

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Kalau Gengs mempelajari permutasi dan kombinasi dengan benar, pasti dengan mudah Gengs dapat mengetahui perbedaan permutasi dan kombinasi. Seperti penjelasan di atas sebelumnya, perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah permutasi memperhatikan urutan susunan anggota sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan susunan anggota. 

Demikianlah penjelasan lengkap Rumus Peluang, Permutasi dan Kombinasi Matematika. Selamat belajar dan semoga dapat memahami materi yang diberikan dengan baik.

Semoga Bermanfaat 
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar