Skip to main content

Materi Vektor Matematika - Pengertian, Sifat-Sifat dan Operasi Aljabar

Hallo Gengs, Apa Kabar? Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi tentang vektor. Vektor kali ini merupakan materi vektor yang Gengs pelajari pada jenjang sekolah menengah atas atau SMA. Pada postingan ini akan diberikan pengertian, sifat-sifat dan operasi aljabar vektor yang terdapat dalam materi matematika SMA. Tanpa basa-basi berikut ini adalah materinya.

Pengertian Vektor

Vektor merupakan besaran yang mempunyai panjang dan arah. Dalam Matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar.  Besaran-besaran pada fisika banyak yang termasuk besaran vektor. Contohnya gaya, kecepatan, percepatan, perpindahan, momen gaya dan moementum. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar saja, misalnya waktu, suhu, panjang, luas, volume, massa dan sebagainya. Pada besaran vektor memiliki penjumlahan yang berbeda dengan besaran skalar. Penjumlahan vektor disebut juga dengan resultan vektor.

Cara Menuliskan Notasi Vektor

Penulisan simbol atau lambang vektor dapat dilakukan dengan 2 cara sebagai berikut:
1. Vektor disimbolkan dengan dua huruf besar atau satu huruf yang di atasnya diberi tanda anak panah
2. Vektor disimbolkan dengan dua huruf besar atau satu huruf yang ditebalkan
Jika Gengs menggunakan dua huruf, maka huruf pertama merupakan titik asal vektor, sedangkan huruf di belakang merupakan arah vektor atau titik terminal atau ujung vektor.

Sifat-Sifat Vektor

Vektor memiliki sifat-sifat seperti berikut ini:
1.  Dapat dipindahkan dengan syarat nilai/besar dan arahnya tidak berubah
2.  Dapat dijumlahkan
3.  Dapat dikurangkan
4.  Dapat diuraikan
5.  Dapat dikalikan

Operasi Aljabar pada Vektor

Penjumlahan Vektor dan Pengurangan Vektor

Ada dua metode yang dapat kita gunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor yaitu
1. Metode segitiga
Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik ujung vektor yag lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik a dan bertitik ujung di titik ujung b.
2. Metode Jajaran Genjang
Vektor hasil/resultant yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awl dan titik akhir ditempatkan berimpit.

Perkalian pada Vektor

Jika k adalah suatu skalar bilangan rill, a suatu vektor, maka perkalian ka menghasilkan suatu vektor yang panjangnnya |k| kali panjang a dan arahnya sama dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif. Bila k=0 maka ka=0 disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit. 

Sifat Operasi Aljabar pada Vektor

















Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling tegak lurus

Jika dua buah vektor A dan B saling tegak lurus akan menghasilkan vektor resultan R, yang besarnya resultan ditetukan dengan rumus sebagai berikut:
$  R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}  $
Sedangkan arah resultan dapat dicari dengan persamaan berikut
$\Theta=\arctan \begin{pmatrix} \frac{B}{A} \end{pmatrix}$

Sejajar

Dua vektor yang sejajar dapat dijumlahkan dengan syarat arah kedua  vektor sama dengan kata lain kedua vektor adalah searah. Secara matematis, rumus besar resultan hasil penjumlahan vektor yang sejajar adalah sebagai berikut:
R = |A + B|
Dan arah vektor resultannya adalah searah dengan kedua vektor tersebut.

Dua vektor yang sejajar dapat dikurangkan dengan syarat arah kedua  vektor berlawnan dengan kata lain kedua vektor berlawanan arah. Secara matematis, rumus besar resultan hasil selisih vektor yang sejajar adalah sebagai berikut:
R = |A - B|
Dan arah vektor resultannya adalah searah dengan vektor terbesar. 

Sudut dua vektor

Resultan Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Misalkan terdapat dua buah vektor A dan B dimana satu sama lain mengapit suatu sudut. Kemudian gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan menggunakan metode segitiga yaitu dengan cara menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya tarik garis dari titik pangkal vektor A ke titik ujung vektor B. vektor inilah yang dinamakan vektor R, resultan dari vektor A dan B. 

Vektor C dan D diberikan sebagai alat bantu sehingga vektor A + C tegak lurus terhadap vektor D dan ketiganya membentuk resultan yang sama dengan resultan dari vektor A dan B yaitu R. Dengan menggunakan Dalil Pythagoras, besarnya vektor resultan R adalah
$R=\sqrt{(A+C)^{2}+D^{2} }=\sqrt{A^{2}+2AC+C^{2}+D^{2}}$
  
Selanjutnya dengan menggunakan Dalil Pythagoras, dari gambar di atas diperoleh
$C^{2}+D^{2}=B^{2}$

Dan dari rumus trigonometri diperoleh:
$\cos \theta=\frac{C}{B}$
$ C=B\cos \theta$

Dengan memasukkan dua persamaan terakhir ke persamaan pertama, diperoleh besarnya vektor R, yaitu sebagai berikut:
$R=\sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB\cos \theta }$

Selisih dua vektor yang mengapit sudut
Misalkan, vektor A dan vektor –A, memiliki besar yang sama, yaitu |A| = |-A| = A, tetapi dengan arah yang berlawanan seperti pada gambar di atas. Selisih  dari dua buah vektor, misalnya vektor A – B, secara grafis sama dengan jumlah antara vektor A dan vektor –B. Dengan demikian secara matematis, vektor selisihnya ditulis R = A – B. Secara analitis, besar vektor selisihnya ditentukan dari persamaan sebelumnya dengan mengganti θ dengan 180 - θ. Karena cos (180 - θ) = - cos θ, sehingga diperoleh:
$R=\sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB\cos \theta }$

Proyeksi Vektor

Pada proyeksi vektor, objek yang diproyeksikan berupa vektor, baik itu panjangnya atau vektor itu sendiri. Proyeksi dibedakan menjadi beberapa jenis, di antaranya adalah proyeksi ortogonal, aksonometri, proyeksi miring (oblique), dan perspektif. Pada pembahasan proyeksi vektor kali ini hanya akan membahas mengenai proyeksi vektor ortogonal. Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. 

Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.
1. Proyeksi skalar ortogonal $\underset{a}{\rightarrow}$ pada arah vektor $\underset{b}{\rightarrow}$
$\left | \underset{c}{\rightarrow} \right |=\frac{\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow}} {\left | \underset{b}{\rightarrow}\right |}$
2. Proyeksi skalar ortogonal $\underset{b}{\rightarrow}$ pada arah vektor $\underset{a}{\rightarrow}$
$\left | \underset{c}{\rightarrow} \right |=\frac{\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow}} {\left | \underset{a}{\rightarrow}\right |}$

Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.
1. Proyeksi vektor ortogonal $\underset{a}{\rightarrow}$ pada $\underset{b}{\rightarrow}$
$\left | \underset{c}{\rightarrow} \right |=\frac{\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow}} {\left | \underset{b}{\rightarrow}\right |^{2}}.\underset{b}{\rightarrow}$
2. Proyeksi vektor ortogonal $\underset{b}{\rightarrow}$ pada $\underset{a}{\rightarrow}$
$\left | \underset{c}{\rightarrow} \right |=\frac{\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow}} {\left | \underset{a}{\rightarrow}\right |^{2}}.\underset{a}{\rightarrow}$

Perbandingan Vektor

Pada perbandingan vektor pada ruas garis, terdapat tida jenis dalam pembagian ruas garisnya yang mengakibatkan juga ada tiga jenis bentuk perbandingan vektor. Misalkan terdapat titik P, titik Q dan titih N pada suatu ruas garis. Selanjutnya kita anggap titik N sebagai titik pembagi ruas garis PQ. Ada dua kemungkinan letak titik N diantaranya yaitu:
1. Titik N membagi PQ di dalam
Yang dimaksud dengan titik N membagi PQ di dalam adalah titik N terletak diantara titik A dan titik B. Titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m dan n. Kondisi ini terjadi saat titik P berada di antara titik A dan B. Cara menentukan koordinat P pada perbandingan vektor pada ruas garis dengan titik P berada di dalam dapat dilihat pada persamaan sebagai berikut.

Untuk menentukan koordinat N dapat menggunakan persamaan di bawah.








2. Titik N membagi PQ di luar
Yang dimaksud dengan titik N membagi PQ di dalam adalah titik N terletak sebelum atau sesudah titik A dan titik B.

- Titik pembagi N berada setelah ruas garis  PQ
Kondisi kedua adalah sebuah titik N membagi ruas garis PQ di luar dengan N terletak setelah ruas garis PQ. Keadaan ini terjadi saat nilai pembagi pertama (a) lebih besar dari pembagi kedua (b). Atau kondisinya memenuhi a > b.

Untuk menentukan koordinat N dapat menggunakan persamaan di bawah.












Titik pembagi N berada setelah ruas garis  PQ 
Kondisi ini terjadi saat titik N membagi ruas garis PQ di luar dengan letak titik N berada sebelum ruas garis P. Dengan kata lain, letak titik N berada sebelum titik P. Kondisi ini terjadi saat nilai pembanding pertama (a) lebih kecil dari pembanding ke dua (b). Sehingga memenuhi a < b.

Untuk menentukan koordinat N dapat menggunakan persamaan di bawah.












Semoga Bermanfaat 
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar