Pada kesempatan kali ini, akan diberikan contoh-contoh soal plus pembahasannya tentang persamaan eksponensial.
Namun sebelumnya akan saya berikan sifat-sifat yang ada pada persamaan eksponen.
Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.
Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x)
Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.
Jika af(x) = bf(x) maka f(x) = 0
Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.
Jika af(x) = bg(x) maka log af(x) = log bg(x)
Jika f(x)g(x) = 1 maka
(1) f(x) = 1
(2) f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
(3) g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
Jika f(x)h(x) = g(x)h(x) maka
(1) f(x) = g(x)
(2) f(x) = -g(x), dengan syarat h(x) genap
(3) h(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
Jika f(x)g(x) = f(x)h(x) maka
(1) g(x) = h(x)
(2) f(x) = 1
(3) f(x) = -1, g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4) f(x) = 0, g(x) dan h(x) keduanya positif
Tanpa basa basi lagi, kita langsung saja masuk ke contoh-contohnya.
Contoh 1
Soal: Tentukan penyelesaian dari persamaan ekponensial berikut ini 22x-7 = 81-x
Jawab:
Pertama-tama yang perlu Gengs lakukan yaitu menyamakan basis pada kedua ruas [ruas kanan dan ruas kiri] seperti berikut:
22x-7 = 81-x
22x-7 = (23)1-x
22x-7 = 23-3x
Nahhhh karena basismya telah sama, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai x-nya seperti berikut ini.
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2
Sehingga kita peroleh x = 2
Contoh 2
Soal: Carilah bentuk sederhana dari $(\frac{a^{\frac{1}{2}} b^{-3}}{a^{-1} b^{\frac{-3}{2}}})^{\frac{2}{3}}$ adalah …
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, maka :
Soal: Tentukan nilai dari $\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}$
Jawab:
$\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=\frac{2^{2}(2^{3}-2^{5})}{2^{2}}$
=$2^{3}-2^{5}$
= 8 - 32 = -24
Contoh 4
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut
3Ë£⁺²+3Ë£=10
Jawab:
3Ë£⁺²+3Ë£=10
3Ë£(3²+1)=10
3Ë£(10)=10
3Ë£ = 1
3Ë£=3⁰
x=0
Contoh 5
Soal: Hasil dari $\sqrt[3]{0,125}+ \frac{1}{\sqrt[5]{32}}+ (0,5)^2$ adalah…
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan bentuk akar, maka
Contoh 6
Soal: Tentukan nilai x dari persamaan 3⁵Ë£⁻¹ – 27Ë£⁺³ = 0
Jawab:
3⁵Ë£⁻¹ – 27Ë£⁺³ = 0
3⁵Ë£⁻¹ = (3³)Ë£⁺³
3⁵Ë£⁻¹ = 3³Ë£⁺⁹
5x-1 = 3x + 9
2x = 10
x = 5
Contoh 7
Soal: Tentukan penyelesaian dari 32x-2 = 5x-1
Jawab:
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
32x-2 = 5x-1
32(x-1) = 5x-1
9x-1 = 5x-1
Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut:
x - 1 = 0
x = 1
Dengan demikian nilai x yang kita peroleh yaitu 1.
Contoh 8
Soal: Jika 3Ë£⁻²Ê¸ = 1/81 dan 2Ë£⁻ʸ = 16, maka nilai x + y
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka
3Ë£⁻²Ê¸ = 1/81
3Ë£⁻²Ê¸ = 1/3⁴
3Ë£⁻²Ê¸ = 3⁻⁴ ........................... pers 1
3Ë£ = 1
3Ë£=3⁰
x=0
Contoh 5
Soal: Hasil dari $\sqrt[3]{0,125}+ \frac{1}{\sqrt[5]{32}}+ (0,5)^2$ adalah…
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan bentuk akar, maka
Contoh 6
Soal: Tentukan nilai x dari persamaan 3⁵Ë£⁻¹ – 27Ë£⁺³ = 0
Jawab:
3⁵Ë£⁻¹ – 27Ë£⁺³ = 0
3⁵Ë£⁻¹ = (3³)Ë£⁺³
3⁵Ë£⁻¹ = 3³Ë£⁺⁹
5x-1 = 3x + 9
2x = 10
x = 5
Contoh 7
Soal: Tentukan penyelesaian dari 32x-2 = 5x-1
Jawab:
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
32x-2 = 5x-1
32(x-1) = 5x-1
9x-1 = 5x-1
Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut:
x - 1 = 0
x = 1
Dengan demikian nilai x yang kita peroleh yaitu 1.
Contoh 8
Soal: Jika 3Ë£⁻²Ê¸ = 1/81 dan 2Ë£⁻ʸ = 16, maka nilai x + y
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka
3Ë£⁻²Ê¸ = 1/81
3Ë£⁻²Ê¸ = 1/3⁴
3Ë£⁻²Ê¸ = 3⁻⁴ ........................... pers 1
2Ë£⁻ʸ= 16
2Ë£⁻ʸ = 2⁴
x - y = 4 ................................ pers 2
Dari pers 1 dan pers 2, diperoleh
x - 2y = -4
x - y = 4
___________ –
-y = -8
y = 8
Nilai y dapat kita subsitusikan ke pers 1 atau 2, maka
x - 2y = -4
y = 8
Jadi
x - 2(8) = -4
x = -4 + 16
x = 12
ATAU
x - y = 4
x - (8) = 4
x = 4 + 8
x = 12
Didapatkan nilai x = 12, dan nilai y = 8
Jadi, x + y = 12 + 8 = 20
Contoh 9
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari :
9 x²+x = 27 x²-1 Jawab:
9 x²+x = 27 x²-1
3 2(x²+x) = 3 3(x²-1)
2 (x2+x) = 3 (x2-1)
2x2 + 2x = 3x2 – 3
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1,3 }
Contoh 10
Soal: Tentukan penyelesaian dari (23)x = 61-x
Jawab:
Basis pada kedua ruas persamaan di atas berbeda, begitu pula pangkatnya. Sehingga, berdasarkan sifat 3, maka akan diperoleh sebagai berikut:
Sifat-sifat logaritme yang akan kita gunakan pada contoh berikut:
1. log an = n log a
2. log a + log b = log (ab)
log (23)x = log 61-x
x log (23) = (1 - x) log 6
x log (23) = log 6 - x log 6
x log (23) + x log 6 = log 6
x (log (23) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6
x = log6log4
x = 4log 6
Sehingga penyelesaiannya adalah x = 4log 6
***Pelajari juga sifat-sifat dari logaritme
Contoh 11
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x2-1 = 2x+1
Jawab:
Untuk menjawab soal ini, coba Gengs perhatikan kembali sifat nomor 3.
Nahhhhh berdasarkan sifat tersebut:
log 3x2-1 = log 2x+1
(x2 - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri mempunyai faktor (x + 1) dan ruas kanan pun mempunyai faktor (x + 1) ini menandakan bahwa ruas kiri akan sama dengan ruas kanan apabila (x + 1) = 0
x + 1 = 0
x = -1
Saat (x + 1) ≠ 0, maka
(x - 1) log 3 = log 2
x log 3 - log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = log6log3
x = 3log 6
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1,3log 6}
Contoh12
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut.
25 x+2 = (0,2) 1-x
Jawab
25 x+2 = (0,2) 1-x
52(x+2) = 5 -1(1-x)
2x + 4 = -1 + x
2x – x = -1 – 4
x = -5
Jadi nilai x yang diperoleh yaitu -5
Contoh 13
Soal: Jika 4Ë£ - 4Ë£⁻ = 6 maka (2x)Ë£ sama dengan ?
Jawab:
4Ë£ - 4Ë£⁻¹ = 6
4Ë£ - 1/4 . 4Ë£ = 6
3/4 . 4Ë£ = 6
4Ë£ = 8
2²Ë£ = 2³
2x = 3
x = 3/2
Sehingga,
(2x)Ë£ = (2.3/2)Ë£ = 3Ë£ =$3^{3/2}$
Contoh 14
Soal: Diketahui a = 4 b = 2 dan c = 1/2. Tentukan nilai dari (a⁻¹)² . b⁴/c⁻³
Jawab:
Contoh 15
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari (x - 4)4x = (x - 4)1+3x
Jawab:
Untuk menjawab soal ini, Gengs perhatikan kembali sifat nomor 6.
Misalkan :
f(x) = x - 4,
g(x) = 4x dan
h(x) = 1 + 3x
Solusi 1: g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1
Solusi 2: f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5
Solusi 3: f(x) = -1, g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12
h(x) = 1 + 3(3) = 10
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.
***Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.
Solusi 4: f(x) = 0, g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16
h(x) = 1 + 3(4) = 13
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.
***Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4, 5}
Contoh 16
Soal: Akar-akar persamaan 2.3⁴Ë£ - 20.3²Ë£ + 18 = 0$ adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ adalah
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka:
2.3⁴Ë£ - 20.3²Ë£ + 18 = 0
(3²Ë£) - 10.3²Ë£ + 9 = 0
(3²Ë£ - 9)(3²Ë£ - 1) = 0
3²Ë£ = 9 atau 3²Ë£ = 1
3²Ë£ = 3² atau 3²Ë£ = 3⁰
2x = 2 atau 2x = 0
x = 1 atau x = 0
Jadi x₁ + x ₂ = 1 + 0 = 1
Contoh 17
Soal: Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 3²Ë£⁺² + 8.3Ë£ -1 = 0
Jawab:
3²Ë£⁺² + 8.3Ë£ - 1 = 0
3²Ë£ 3² + 8.3Ë£ - 1 = 0
Langkah selanjutnya yang perlu kita lakukan yaitu faktorkan persamaan kuadrat yang telah kita peroleh dengan memisalkan 3Ë£ = a
9a² + 8a -1 = 0
[9a-1][a+1] = 0
9a-1 = 0
9a = 1
a = 1/9
atau
a + 1 = 0
a = -1
kembali ke permisalan awal 3Ë£ = a
Jika 3Ë£ = 1/9 maka x = -2
Jika 3Ë£ = -1 [tidak memenuhi]
Sehingga nilai x yang memenuhi adalah -2
Contoh 18
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari (x2 + 3x - 2)2x+3 = (x2 + 2x + 4)2x+3
Jawab:
Berdasarkan sifat 5, persamaan eksponen di atas akan mempunyai tiga kemungkinan solusi.
Solusi 1: Basis kiri sama dengan basis kanan
x2 + 3x - 2 = x2 + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6
Solusi 2: Basis berlainan tanda dengan syarat pangkatnya genap
x2 + 3x - 2 = -(x2 + 2x + 4)
x2 + 3x - 2 = -x2 - 2x - 4
2x2 + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa:
Untuk x = -1/2 → (2x + 3) [bernilai genap]
Untuk x = -2 → (2x + 3) [bernilai ganjil]
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2
Solusi 3: Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sam dengan nol
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa:
(x2 + 3x - 2) ≠ 0
(x2 + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 [memenuhi]
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-3/2, -1/2, 6}
Jadi itulah tadi contoh-contoh soal mengenai persamaan eksponen. Jika ada yang masih kurang paham, silahkan tinggalkan komentar dibawah.
Terima Kasih.
Semoga Bermanfaat
9a² + 8a -1 = 0
[9a-1][a+1] = 0
9a-1 = 0
9a = 1
a = 1/9
atau
a + 1 = 0
a = -1
kembali ke permisalan awal 3Ë£ = a
Jika 3Ë£ = 1/9 maka x = -2
Jika 3Ë£ = -1 [tidak memenuhi]
Sehingga nilai x yang memenuhi adalah -2
Contoh 18
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari (x2 + 3x - 2)2x+3 = (x2 + 2x + 4)2x+3
Jawab:
Berdasarkan sifat 5, persamaan eksponen di atas akan mempunyai tiga kemungkinan solusi.
Solusi 1: Basis kiri sama dengan basis kanan
x2 + 3x - 2 = x2 + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6
Solusi 2: Basis berlainan tanda dengan syarat pangkatnya genap
x2 + 3x - 2 = -(x2 + 2x + 4)
x2 + 3x - 2 = -x2 - 2x - 4
2x2 + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa:
Untuk x = -1/2 → (2x + 3) [bernilai genap]
Untuk x = -2 → (2x + 3) [bernilai ganjil]
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2
Solusi 3: Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sam dengan nol
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa:
(x2 + 3x - 2) ≠ 0
(x2 + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 [memenuhi]
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-3/2, -1/2, 6}
Jadi itulah tadi contoh-contoh soal mengenai persamaan eksponen. Jika ada yang masih kurang paham, silahkan tinggalkan komentar dibawah.
Terima Kasih.
Semoga Bermanfaat
Its not make me understand, assole it
ReplyDeleteAnd i don't like study math
I like it
ReplyDeleteThanks, and please give an example that more complicated or more difficult.
ReplyDeleteKaka Beta mau tanya boleh
ReplyDeleteKaka Beta mau tanya boleh kah?
ReplyDeleteTerimakasih atas informasinya sangat membantu saya untuk terus belajar
ReplyDelete