Contoh Soal dan Pembahasan - Persamaan Eksponen

Hallo Gengs Apa kabar? Semoga kita selalu dalam lindunganNya.
Pada kesempatan kali ini, akan diberikan contoh-contoh soal plus pembahasannya tentang persamaan eksponensial.

Namun sebelumnya akan saya berikan sifat-sifat yang ada pada persamaan eksponen.
Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.
Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)
Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.
 Jika a^f(x) = b^f(x) maka  f(x) = 0

Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.
Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x)

Jika f(x)^g(x) = 1 maka   

(1)  f(x) = 1 
(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap
(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka 

(1)  f(x) = g(x)
 (2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka 

(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

Tanpa basa basi lagi, kita langsung saja masuk ke contoh-contohnya.

Contoh 1
Soal: Tentukan penyelesaian dari persamaan ekponensial berikut ini  2^2x-7 = 8^1-x
Jawab:
Pertama-tama yang perlu Gengs lakukan yaitu menyamakan basis pada kedua ruas [ruas kanan dan ruas kiri] seperti berikut:
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x
Nahhhh karena basismya telah sama, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai x-nya seperti berikut ini.
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2
Sehingga kita peroleh x = 2

Contoh 2
Soal: Carilah bentuk sederhana dari $(\frac{a^{\frac{1}{2}} b^{-3}}{a^{-1} b^{\frac{-3}{2}}})^{\frac{2}{3}}$ adalah …
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, maka :

Contoh 3
Soal: Tentukan nilai dari $\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}$
Jawab:
$\frac{2^{5}-2^{7}}{2^{2}}=\frac{2^{2}(2^{3}-2^{5})}{2^{2}}$
                       =$2^{3}-2^{5}$
                       = 8 - 32 = -24

Contoh 4
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut
$3^{x+2}+3^{x}=10$ 
Jawab:
$3^{x+2}+3^{x}=10$
$3^{x}(3^{2}+1)=10$
           $3^{x}(10)=10$
                $ 3^{x} = 1$
                  $3^{x}=3^{0}$
                       x=0

Contoh 5
Soal: Hasil dari $\sqrt[3]{0,125}+ \frac{1}{\sqrt[5]{32}}+ (0,5)^2$ adalah…
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan bentuk akar, maka

Contoh 6
Soal: Tentukan nilai x dari persamaan $3^{5x-1} – 27^{x+3} = 0$
Jawab:
$3^{5x-1} – 27^{x+3} = 0$
$3^{5x-1} = (3^3)^{x+3}$
$3^{5x-1} = 3^{3x+9}$
5x-1 = 3x + 9
   2x = 10
     x = 5

Contoh 7
Soal: Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1
Jawab:
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1
Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut:
x - 1 = 0
     x = 1
Dengan demikian nilai x yang kita peroleh yaitu 1.

Contoh 8
Soal: Jika $3^{x - 2y} = \frac{1}{81}$ dan $2^{x - y} = 16$, maka nilai x + y
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka
$3^{x - 2y} = \frac{1}{81}$
$3^{x - 2y} = \frac{1}{3^4}$
$3^{x - 2y} = 3^{-4}$ ........................... pers 1
$2^{x - y} = 16$
$2^{x - y} = 2^4$
x - y = 4 ................................ pers 2
Dari pers 1 dan pers 2, diperoleh
x - 2y = -4
  x - y = 4
___________ –
-y = -8
  y = 8

Nilai y dapat kita subsitusikan ke pers 1 atau 2, maka
x - 2y = -4
       y = 8
Jadi
x - 2(8) = -4
          x = -4 + 16
          x = 12
ATAU
  x - y = 4
x - (8) = 4
        x = 4 + 8
        x = 12
Didapatkan nilai x = 12, dan nilai y = 8
Jadi, x + y = 12 + 8 = 20

Contoh 9

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari :

9 ^x²+x = 27 ^x²-1
Jawab:
9 ^x²+x = 27 ^x²-1
3 ^2(x²+x) = 3 ^3(x²-1) 
2 (x²+x) = 3 (x²-1)
2x² + 2x = 3x² – 3
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0 
x = 3     atau   x = -1    
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1,3 }

Contoh 10
Soal: Tentukan penyelesaian dari ($\frac{2}{3}$)^x = 6^1-x
Jawab:
Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Sehingga, berdasarkan sifat 3, maka akan diperoleh sebagai berikut:
Sifat-sifat logaritma yang akan kita gunakan pada contoh berikut:
1.  log aⁿ = n log a
2.  log a + log b = log (ab)  
log  ($\frac{2}{3}$)^x = log 6^1-x
x log ($\frac{2}{3}$) = (1 - x) log 6     
x log ($\frac{2}{3}$) = log 6 - x log 6    
x log ($\frac{2}{3}$) + x log 6 = log 6
x (log ($\frac{2}{3}$) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6                   
x = $\frac{log6}{log4}$
x = ⁴log 6
Sehingga penyelesaiannya adalah x = ⁴log 6
***Pelajari juga sifat-sifat dari logaritma

Contoh 11
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari 3^x2-1 = 2^x+1
Jawab:
Untuk menjawab soal ini, coba Gengs perhatikan kembali sifat nomor 3.
Nahhhhh berdasarkan sifat tersebut:
log 3^x2-1 = log 2^x+1
(x² - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri mempunyai faktor (x + 1) dan ruas kanan pun mempunyai faktor (x + 1) ini menendakan bahwa ruas kiri akan sama dengan ruas kanan apabila (x + 1) = 0
 x + 1 = 0
       x = -1
Saat (x + 1) ≠ 0, maka
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x - 1) log 3 = log 2
x log 3 - log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = $\frac{log6}{log3}$
x = ³log 6
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1,³log 6} 

Contoh12
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut.
25 ^x+2 = (0,2) ^1-x
Jawab  
25 ^x+2 = (0,2) ^1-x 
5^2(x+2) = 5 ^-1(1-x)
2x + 4 = -1 + x
2x – x = -1 – 4
x         = -5
Jadi nilai x yang diperoleh yaitu  -5

Contoh 13
Soal: Jika $4^x -4^{x-1} = 6$ maka $(2x)^x$ sama dengan ?
Jawab:
$4^x -4^{x-1} = 6$
$4^x - 1/4.4^x = 6$
$3/4.4^x = 6$
$4^x = 8$
$2^{2x} = 2^3$
2x = 3
x = 3/2
Sehingga,
$(2x)^x = (2.3/2)^x = 3^x = 3^{3/2}$

Contoh 14
Soal: Diketahui a = 4 b = 2 dan c = 1/2. Tentukan nilai dari $(a^{-1})^2.b^4/c^{-3}$
Jawab:

Contoh 15
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari (x - 4)^4x = (x - 4)^1+3x
Jawab:
Untuk menjawab soal ini, Gengs perhatikan kembali sifat nomor 6.
Misalkan :
f(x) = x - 4,
g(x) = 4x  dan
h(x) = 1 + 3x

Solusi 1: g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1 

Solusi 2: f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5 

Solusi 3: f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3

Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12 
h(x) = 1 + 3(3) = 10 
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.
***Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4: f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4 
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16
h(x) = 1 + 3(4) = 13 
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.
***Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4, 5}

Contoh 16
Soal: Akar-akar persamaan $2.3^{4x} - 20.3^{2x} + 18 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai $x_1 + x_2$ adalah
Jawab:
Dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen, maka:
 









Contoh 17
Soal: Cari himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $3^{2x+2} + 8.3^{x} -1 = 0$
Jawab:

Langkah selanjutnya yang perlu kita lakukan yaitu faktorkan persamaan kuadrat yang telah kita peroleh denga memisalkan $3^x$ = a
$9a^2 + 8a -1 = 0$
       [9a-1][a+1] = 0
9a-1 = 0
   9a = 1
     a = 1/9
atau
a + 1 = 0
      a = -1
kembali ke permisalan awal $3^x$  = a
$3^x  = 1/9$ maka x = -2
$3^x = -1$ [tidak memenuhi]
Sehingga nilai x yang memenuhi adalah -2

Contoh 18
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari (x² + 3x - 2)^2x+3 = (x² + 2x + 4)^2x+3
Jawab:
Berdasarkan sifat 5, persamaan eksponen di atas akan mempunyai tiga kemungkinan solusi.
Solusi 1: Basis kiri sama dengan basis kanan
x² + 3x - 2 = x² + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6

Solusi 2: Basis berlainan tanda dengan syarat pangkatnya genap
x² + 3x - 2 = -(x² + 2x + 4)
x² + 3x - 2 = -x² - 2x - 4
2x² + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa:
Untuk x = -1/2  →  (2x + 3) [bernilai genap]
Untuk x = -2  →  (2x + 3) [bernilai ganjil]
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2

Solusi 3: Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sam dengan nol
2x + 3 = 0
     x = -3/2
Periksa:
(x² + 3x - 2) ≠ 0
(x² + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 [memenuhi]
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-3/2, -1/2, 6}

Jadi itulah tadi contoh-contoh soal mengenai persamaan eksponen. Jika ada yang masih kurang paham, silahkan tinggalkan komentar dibawah.
Terima Kasih.

Semoga Bermanfaat