Skip to main content

Fungsi Kuadrat SMA - Contoh Soal dan Pembahasannya

Hallooo Gengs... Apa kabar??? Semoga kita selalu dalindungi-Nya.
Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang fungsi kuadrat SMA. Saya akan memulai dari  contoh-contoh soal jadi alangkah baiknya sobat sekalian mempelajari materinya dahulu agar mempermudah pengerjaan soal latihannya.

Tanpa basa-basi, berikut ini adalah contoh-contoh soalnya beserta pembahasannya.
Selamat berlatih.

Contoh 1
Soal: Jika suatu gambar adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-9,0) dan melalui titik (0,-6) maka nilai f(-1) adalah??
Jawab:
Diketahu titik puncak ($x_p,y_p$) = (-8,0) melalui titik (x,y) = (0,-2).
Rumus yang akan kita gunakan yaitu:
y = f(x) = a$(x - x_p)^2$ + $y_p$
Mengapa kita menggunakan rumus tersebut? Karena titik puncaknya telah diketahui.
Selanjutnya kita akan mencari nilai a sebagai berikut
y = f(x) = a$(x - x_p)^2$ + $y_p$
-2 = a$(0+8)^2$ + 0
-2 = 64a
a = -32

Dengan demikian
f(x) = -(x + 9)
Saat x = -1 atau f(-1) sebagai berikut
f(-1) = - (-1 + 9) = -8

Contoh 2
Soal: Tentukan koordinat titik balik dari fungsi kuadrat yang persamaannya sebagai  berikut F(x) = 2 $(x + 2)^2$ + 3
Jawab:
Jika kita perhatikan soal tersebut, ternyata fungsi kuadratnya belum dalam bentuk a$x^2$ + bx + c oleh karena itu pertama-tama kita uraikan fungsi kuadrat tersebut.
F(x) = 2 $(x + 2)^2$ + 3
        = 2 [$x^2$ + 4x + 4] + 3
        = 2$x^2$ + 8x + 8 + 3
        = 2$x^2$ + 8x +11
Nahhhhh setelah kita ubah bentuknya, kita bisa mengetahui nilai dari a dan b, sebagai berikut:
a = 2 dan b = 8

Selanjutnya, kita akan menentukan titik balik fungsi kuadrat tersebut.
Untuk menentukannya, kita akan menggunakan rumus berikut ini:
Pertama-tama kita akan mencari nilai x-nya.
x = -b/2a
   = -8/2.2
   = -8/4
   = -2
Setelah menentukan nilai x, selanjutnya akan dicari nilai y.
y = F(-b/2a)
   = F(-8/2.2)
   = F(-2)
y = 2$(-2)^2$ + 8(-2) + 11
   = 2(4) - 16 + 11
   = 8 - 16 + 11
   = 3
Dengan demikian, titik balik fungsi kuadrat 2 $(x + 2)^2$ + 3 adalah (x,y) = (-2,3)

Contoh 3
Soal: Fungsi kuadrat f(x) = $x^2$ + 2qx + q mempunyai nilai minimum -q dengan q#0. Jika sumbu simetri kurva f adalah x = a, maka nilai a + f(a) adalah...??
Jawab:
Agar lebih mudah dalam menjawab, pertama-tama kita tuliskan dahulu apa saja yang telah diketahui dari soal.
Diketahui:
f(x) = $x^2$ + 2px + p
nilai minimum -p dengan p#0
a = 1, b = 2q dan c = q
Setelah itu kita mencari nilai q dengan rumus sebagai berikut.
 
Nahhhh karena pada soal telah diketahui bahwa nilai minimum adalah -q maka kita dapat modifikasi rumus di atas menjadi
-q = D/-4a
Setelah itu, dengan mudah kita akan menentukan nilai q-nya.
-q   = [$b^2$ - 4ac]/-4a
-q   = [$(2q)^2$ - 4(1)(q)] / -4(1)
-q   = [4$q^2$ -4q] / -4
4q  = 4$q^2$ - 4q
4$q^2$ - 4q - 4q = 0
4$q^2$ - 8q = 0
4q (q - 2) = 0
4q = 0
  q = 0, atau
q - 2 = 0
q = 2
Setelah kita mendapatkan nilai q, selanjunya kita substitusikan nilai q tersebut ke fungsi awal yang diberikan pada soal.
f(x) = $x^2$ + 4x + 2
Kemudian kita cari nilai $x_min$ atau a.
$x_{min}$ = -b/2a
           = -4/2.1
           = -2
Selanjutnya kita tentukan nilai dari f(x_min) atau f(a)
f($x_{min}$) = f(-2) = $(-2)^2$ + 4(-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 = f(a)
Karena f(a)-nya telah kita peroleh, maka dengan mudah kita dapat tentukan a + f(a) sebagai berikut:
a + f(a) = -2 + (-2) = -4

Contoh 4
Soal: Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3$x^2$ - x - 2 dengan sumbu-x dan sumbu-y.
Jawab:
Suatu titik potong sumbu-x dapat dengan mudah ditentukan apabila y = 0. Maka kita akan buat seperti berikut:
y = 3$x^2$ - x - 2 
3$x^2$ - x - 2  = 0
(3x + 2)(x - 1) = 0
3x + 2 = 0
3x = -2
x = -2/3, atau
x - 1 = 0
x = 1
Dengan demikian,  titik potong sumbu-x adalah (-2/3,0) dan (1.0)

Selanjutnya kita akan tentukan titik potong sumbu-y. Titik potong sumbu-y dapat dengan mudah ditentukan apabila x = 0, sebagai berikut.
y = 3$x^2$ - x - 2
y = 3($0^2$) - 0 - 2
y = -2
Dengan demikian, titik potong sumbu-y adalah (0,-2)

Contoh 5
Soal: Berapakah nilai m yang memenuhi agar persamaan garis y = -2x + 3 dapat menyinggung parabola y = $x^2$ + (m - 1)x + 7 ??
Jawab:
Diketahui:
Persamaan garis y = -2x + 3
Persamaan parabola y = $x^2$ + (m - 1)x + 7
Untuk mengerjakan soal ini, kita buat menjadi:
Persamaan garis = Persamaan parabola
$x^2$ + (m - 1)x +7 = -2x + 3
$x^2$ + (m - 1)x + 2x + 7 - 3 = 0
$x^2$ + mx - x + 2x + 4 = 0
$x^2$ + mx + x + 4 = 0
$x^2$ + x(m + 1) + 4 = 0
Dari persamaan di atas yang telah kita peroleh, kita dapat mengetahui nilai a, b dan c sebagai berikut:
a = 1, b = m + 1 dan c = 4
Naahhhh sesuai dengan pertanyaan pada soal... kita diperintahkan untuk mencari nilai m yang dapat menyinggung DAN kita tahu bahwa syarat menyinggung adalah D = 0. Dengan demikian:
D = 0
$b^2$ - 4ac = 0
$(m + 1)^2$ - 4ac = 0
$m^2$ + m + m + 1 - 4(1)(4) = 0
$m^2$ + 2m + 1 - 16 = 0
$m^2$ + 2m - 15 = 0
(m + 3) (m + 5) = 0
m + 3 = 0
m = -3, atau
m + 5 = 0
m = -5
Dengan demikian nilai m yang menyinggung adalah -3 atau -5.

Contoh 6
Soal: Tentukan titik puncak dari persamaan parabola berikut {(x,y) | y = 2$x^2$ - 12x + 14.
Jawab:
y = 2$x^2$ - 12x + 14
Dari persamaan tersebut kita dapat menentukan nilai a, b dan c sebagai berikut.
a = 2, b = -12 dan c = 14
Dengan demikian kita dengan mudah dapat menentukan titik puncaknya ($x_p,y_p$).
($x_p$,$y_p$) = (-b/2a , D/-4a)
Sehingga,
$x_p$ = -b/2a
       = -(-12)/2.(2)
       = 12/4
       = 3
$y_p$ = D/-4a
       = ($b^2$ - 4ac) / -4a
       = [$(-12)^2$ - 4(2)(14)] / -4(2)
       = (144 112) / -8
       = 32/-8
       = -4
Jadi titik puncak dari persamaan y = 2$x^2$ - 12x + 14 adalah ($x_p,y_p$) = (3 , -4)

Contoh 7
Soal: Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5$x^2$ - 20x + 1
Jawab:
Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus x = -b/2a. Dari fungsi kuadrat pada soal di peroleh:
a = 5 dan b = -20
Sehingga
x = -b/2a
   = -(-20)/2(5)
   = 20/10
   = 2
Dengan demikian sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5$x^2$ - 20x + 1 adalah x = 2.

Sekian contoh-contoh nya..
Semoga Bermanfaat.
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar