Skip to main content

Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear 2 Variabel [SMA KELAS 12]

Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel

Penyelesaian dalam sistem persamaan linear [SPL] dapat dilakukan dengan cara invers matriks, cara Cramer [determinan matriks], dan cara eliminasi Gauss-Jordan.

A. Persamaa linear dengan dua variabel

Bagaimana cara kita menemukan jawaban/solusi dari persamaan $2x+3y=6$ , untuk x dan y bilangan bulat? Dalam menjawab pertanyaan di atas, kita dapat menggambarkan garis dari persamaan $2x+3y=6$  pada bidang Cartesius untuk melihat titik-titik apa saja yang terletak pada garis tersebut.
Contoh:
saat x=0 maka y=2
saat x=2 maka y=2/3
saat x=1 maka y=4/3
Dari contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa persamaan $2x+3y=6$  mempunyai banyak solusi. Karena persamaan $2x+3y=6$  mempunyai banyak solusi maka persamaan $2x+3y=6$  disebut solusi umum.

Dari mana kita tahu bahwa persamaan $2x+3y=6$  disebut solusi umum?
Penentuan solusi umum dari persamaan $2x+3y=6$  selain menggunakan algoritme Euclid.

Solusi umum dari persamaan linear dengan dua variabel
Persamaan linear:
$ax+by=c,a\ne 0$ dan $b\ne 0$ dengan $x\in \mathbb{R}$ dan $y\in \mathbb{R}$
Solusi Umum:
$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{c}{a}\\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}$
Bentuk ini dekenal dengan notasi matriks atau vektor.

B. Sistem persamaan linear dengan dua variabel

Coba Gengs perhatikan sistem persamaan linear [SPL] dengan dua variabel berikut ini:
Bentuk biasa:
$ax+by=P$
$cx+dy=Q$
Bentuk matriks:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
Penentuan nilai x dan y dari sistem persamaan linear dengan dua variabel secara matriks dapat dilakukan dalam beberapa cara.

Cara Pertama [Invers Matriks]

$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$I\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
Secara umum, solusi dari sistem persamaan linear dengan dua variabel adalah sebagai berikut:
1. Mempunyai satu solusi jika nilai determinan matriks tidak sama dengan nol.
2. Tidak mempunyai solusi jika nilai determinan matriks sama dengan nol.
3. Mempunyai tak hingga solusi jika $ax+by=P$ merupakan kelipatan dari $cx+dy=Q$.

PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Carilah nilai x dan y dari sistem persamaan linear di bawah ini:
$\frac{40}{x+y}+\frac{2}{x-y}=5$
 $\frac{25}{x+y}-\frac{3}{x-y}=1$
Jawab:
Jika soal yang kita kerjakan masih dalam bentuk SPL maka pertama-tama kita ubah terlebih dahulu ke dalam bentuk matriks seperti berikut ini:
$\begin{pmatrix} 40 &2 \\ 25 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}$
Karena kita menggunakan cara invers maka kita perhatikan kembali rumus yang telah di tulis diatas, seperti berukut ini:.
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}]=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
Sehingga akan seperti berikut ini:
$\begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 40 &2 \\ 25 &-3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}$
$=\frac{1}{-120-50}\begin{pmatrix} -3 &-2 \\ -25 &40 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}$
$=\frac{1}{-170}\begin{pmatrix} -15-2 \\ -125+40 \end{pmatrix}$
Sehingga akan kita peroleh sebagai berikut:
$\begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
Karena masih dalam bentuk $ \begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}$maka kita ubah kedalam bentuk $\begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}$ sehingga kita akan peroleh seperti berikut ini:
$\begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix}$

Jangan lupa juga... karena kita mencari bentuk penyelesaian maka kita perlu mencari nilai x dan nilai y nya. Bentuk
$\begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix}$
kita ubah kedalam bentuk matriks seperti berikut ini:
$\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix}$
Selanjutnya kita kerjakan dengan cara seperti sebelumnya.
$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &1 \\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\frac{1}{-1-1}\begin{pmatrix}
-1 &-1 \\
-1 &1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
10\\
2
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}
-10-2  \\
-10+2 
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6  \\

\end{pmatrix}$

Cara Kedua [Cara Cramer, Determinan Matriks]

Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear [SPL] dua variabel, kita dapat menggunakan determinan matriks yang dikenal sebagai cara Cramer.
Coba Gengs perhatikan sistem persamaan linear dua variabel berikut ini:
Bentuk biasa:
$ax+by=P$
$cx+dy=Q$
Bentuk matriks:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
dimana:
$\begin{vmatrix}
a &b \\
c &d
\end{vmatrix}\neq 0$
Sistem persamaan linear dua variabel di atas mempunyai solusi unik atau yang kita kenal dengan penyelesaian tunggal yang ditentukan oleh:
$x=\frac{\begin{vmatrix}
P &b \\
Q &d
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a &b \\
c &d
\end{vmatrix}}$
dan
$y=\frac{\begin{vmatrix}
a &P \\
c &Q
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a &b \\
c &d
\end{vmatrix}}$

PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan cara Cramer.
$5x+3y=1$
$6x+46=0$
Jawab:
Langkah pertama yang Gengs perlu ingat yaitu "
1. Apabila masih dalam bentuk SPL maka kita ubah dahulu ke dalam bentuk matriks
2. Gengs harus menghitung determinannya [determinannya harus tidak sama dengan nol
Agar lebih mudah untuk mengetahui apakah suatu determinan adalah nol atau tidak, Gengs dapat membacanya pada artikel berikut ini: Beberapa Sifat Dari Determinan Suatu Matriks

Berikut ini bentuk matriks yang dihasilkan dari SPL di atas:
$\begin{pmatrix}
5 &3 \\
5 &4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}$
dan berikut ini merupakan nilai determinan yang diperoleh:
$\begin{vmatrix}
5 &3 \\
5 &4
\end{vmatrix}=20-18=2\neq 0$
Berdasarkan cara Cramer diperoleh seperti berikut ini:
$x=\frac{\begin{vmatrix}
1 &3 \\
0 &4
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
5 &3 \\
6 &4
\end{vmatrix}}=\frac{4-0}{2}=2$
dan
$y=\frac{\begin{vmatrix}
5 &1 \\
6 &0
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
5 &3 \\
6 &4
\end{vmatrix}}=\frac{0-6}{2}=-3$
Dengan demikian penyelesaiannya adalah:
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
-3
\end{pmatrix}$

Cara Ketiga [Cara Eliminasi Gauss-Jordan]

Dalam menemukan solusi adat penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara eliminasi Gauss-Jordan, perhatikan sistem persamaan linear dua variabel seperti berikut ini:
Jika ada sistem persamaan linear seperti berikut ini
$ax+by=P$
$cx+dy=Q$
Kita ubah kedalam bentuk matriks seperti berikut ini
$\begin{pmatrix}
a &b  &|  &P \\
c &d  &|  &Q
\end{pmatrix}$
Dalam pengerjaannya matriks sebelah kiri kita akan mengubahnya menjadi matriks identitas dengan cara operasi aljabar seperti berikut ini:
$\begin{pmatrix}
1 &0   \\
0 &1 
\end{pmatrix}$
Bagi yang mau berlatih soal-soal tentang terapan matriks sistem persamaan lebih banyak lagi, Gengs dapat membuaka link berikut: Contoh Soal Penyelesaiannya - Terapan Matriks Sistem Persamaan Linear SPL


PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut ini dengan cara Gauss-Jordan.
$2x+4y=2$
$1x+3y=3$
Jawab:
Sama halnya dengan cara pengerjaan soal sebelumnya, mula-mula kita ubah SPL tersebut kedalam bentuk matriks seperti berikut ini
$\begin{pmatrix}
2 &4  &|  &2 \\
1 &3  &|  &3
\end{pmatrix}$
Yang perlu diingat juga bahwa kita akan mengubah matriks tersebut menjadi matrik identitas dengan cara operasi aljabar. Berikut ini merupakan langkah-langkah yang akan kita lakukan untuk memperoleh matriks identitas.

Langkah 1: Pada langkah pertama ini kita kalikan baris pertama pada matriks di atas dengan 1/2 yang nantinya baris pertama kita ganti angka-angkanya dengan hasil pengalian dengan 1/2 tersebut. Perhatikan perhitungan di bawah ini:
$B_{1}\times \frac{1}{2}\rightarrow B_{1}$
$B_{1}$ adalah baris pertama
$\begin{bmatrix}
2\times \frac{1}{2} &4\times \frac{1}{2}  &|  &2\times \frac{1}{2} \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}$
Sehingga matriks baru yang akan kita peroleh adalah
$\begin{bmatrix}
1 &2  &|  &1 \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}$

Langkah 2: Membuat nol pada baris ke-2 kolom ke-1 dengan cara "mengalikan -1 dengan baris pertama, setelah dikalikan kita tambahkan hasilnya dengan baris kedua ". Perhatikan hasil berikut
$B_{1}\times (-1)+B_{2}\rightarrow B_{2}$
$\begin{bmatrix}
1\times -1 &2\times -1  &|  &1\times -1 \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
-1 &-2  &|  & -1 \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}$
Setelah kita kalikan selanjutnya kita tambahkan dengan baris ke dua, dan hasil yang telah kita peroleh kita letakkan pada baris kedua.
$\begin{bmatrix}1 &2  &|  & 1 \\
1+-1=0 &3+-2=1  &|  &3+-1=2
\end{bmatrix}$

Langkah 3: Membuat nol pada baris pertama kolom kedua dengan cara "mengalikan -2 dengan baris kedua, setelah dikalikan kita tambahkan hasilnya dengan baris pertama". Perhatikan hasil berikut.
$B_{2}\times (-2)+B_{1}\rightarrow B_{1}$
$\begin{bmatrix}
1 &2  &|  & 1 \\
0\times -2=0 &1\times -2=-2  &|  &2\times -2=-4
\end{bmatrix}$
Setelah kita kalikan selanjutnya kita tambahkan dengan baris pertama, dan hasil yang telah kita peroleh kita letakkan pada baris pertama.
$\begin{bmatrix}
1 &0  &|  & -3 \\
0 &1  &|  &2
\end{bmatrix}$
Sehingga penyelesaiang yang kita peroleh adalah
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3\\
2
\end{pmatrix}$

Link berikut ini merupakan contoh soal penyelesaian matriks dengan metode Gauss-Jordan: Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss

C. Sistem dengan tiga persamaan dan dua variabel

Dalam permasalahan matematika, terkadang kita menjumpai sistem persamaan linear dua variabel yang dibentuk oleh tiga persamaan, seperti berikut:
$ax+by=L$
$cx+dy=M$
$ex+fy=N$
Tiga persamaan tersebut menunjukkan tiga garis lurus dalam sebuah bidang Cartesius. Kedudukan ketiga garis ini dapat membentuk sebuah segitiga dan saling berpotongan disatu titik. Dalam keadaan ketiga titik saling berpotongan pada satu titik, sistem persamaan tersebut mempunyai solusi unik atau yang kita kenal dengan solusi tunggal. Namun, apabila ketiga persamaan hanya membentuk satu garis maka sistem persamaaan tersebut mempunyai solusi umum atau yang kita kenal dengan banyak penyelesaian.

PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan cara eliminasi Gauss-Jordan.
$x+3y=4$
$2x-y=1$
$x+y=2$
Jawab:
Seperti contoh sebelumnya, pertama-tama kita ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks.
$\begin{bmatrix}
1 &3  &|  &4 \\
2 &-1  &|  &1 \\
1 &1  &  |& 2
\end{bmatrix}$

Selanjutnya kita selesaikan seperti berikut.

Langkah 1: $(-2)B_{1}+B_{2}\rightarrow B_{2}$
$\begin{bmatrix}
1(-2) &3(-2)  &|  &4(-2) \\
2 &-1  &|  &1 \\
1 &1  &  |& 0
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
1 &3  &|  &4 \\
0 &-7  &|  &-7 \\
1 &1  &  |& 0
\end{bmatrix}$

Langkah 2: $(-1)B_{1}+B_{3}\rightarrow B_{3}$
 $\begin{bmatrix} 1(-1) &3(-1) &| &4(-1) \\ 0 &-7 &| &-7 \\ 1 &1 & |& 0 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0 &-7 &| &-7 \\ 0 &-2 & |& -2 \end{bmatrix}$

Langkah 3: $(-1/7)B_{2}\rightarrow B_{2}$
$\begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0 &1 &| &1 \\ 0 &-2 & |& -2 \end{bmatrix}

Langkah 4:$(-1/2)B_{3}\rightarrow B_{3}$
$\begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0 &1 &| &1 \\ 0 &1 & |&1 \end{bmatrix}$
Langkah 5:$(-3)B_{2}+B_{1}\rightarrow B_{1}$
 $\begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0(-3) &1(-3) &| &1(-3) \\ 0 &1 & |&1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 &| &1 \\ 0 &1 &| &1 \\ 0 &1 & |&1 \end{bmatrix}$

Langkah 6: $(-1)B_{2}+B_{3}\rightarrow B_{3}$
$ \begin{bmatrix}
1 &0  &|  &1 \\
0(-1) &1(-1)  &|  &1(-1) \\
0 &1  &  |&1
\end{bmatrix}\rightarrow  \begin{bmatrix}
1 &0  &|  &1 \\
0 &1  &|  &1 \\
0 &0  &  |&0
\end{bmatrix}$

Langkah-langkah yang kita lakukan pada metode Gauss-Jordan dikenal dengan operasi baris dasar (OBD). Untuk soal-soal tambahan tentang operasi baris dasar, Gengs bisa membuka link berikut: Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks


Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar