Skip to main content

Rangkuman - Koordinat Polar Kalkulus Lengkap

1. Sistem Koordinat Polar

Pada bagian ini kita akan membahas suatu sistem koordinat yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih mudah digunakan pada banyak kasus.

Pada sistem ini, kita pilih sebuah titik pada bidang, yang disebut titik kutub atau titik asal, dan diberi lambang O. Lalu kita buat suatu garis yang berawal dari O, yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambarkan secara horizontal ke kanan dan berimpit sengan sumbu x pada koordinat Cartesius.

Misalkan P adalah suatu titik pada bidang. Jika r adalah jarak dari O ke P, dan $\theta$ adalah suatu sudut (biasanya diukur dalam radian) antara sumbu polar dan garis OP, maka pasangan berurut (r,$\theta$) disebut koordinat polar dari titik P.

Kita sepakati bahwa sudut adalah positif jika diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu polar dan negatif jika diukur searah jarum jam. Koordinat (0,$\theta$) menyatakan titik asal, untuk sembarang nilai $\theta$.

Titik (-r,$\theta$) dan (r,$\theta$) terletak pada garis yang sama melalui O dan berjarak sama, yaitu |r| dari O. Jika r>O. Jika r>0, titik (r,$\theta$) terletak di kuadran yang sama dengan $\theta$.

Dalam koordinat Cartesius, setiap titik hanya memiliki satu penyajian. Dalam sistem koordinat polar, masing-masing titik mempunyai banyak penyajian. titik (r,$\theta$) dapat juga dinyatakan dengan:
$(r,\theta +2n\pi )$ atau $(-r,\theta +(2n+1)\pi )$,
dengan n adalah bilangan bulat sembarang.

Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat Cartesius dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika titik P mempunyai koordinat polar (r,$\theta$) dan koordinat Cartesius (x,y), maka dengan bantuan gambar, dapat dilihat hubungan berikut:
$\cos \theta =\frac{x}{r}$    dan    $\sin \theta =\frac{y}{r}$

Jadi, jika kita tahu bahwa suatu titik P mempunyai koordinat polar (r,$\theta$), maka koordinat Cartesiusnya adalah (x,y), dengan x dan y diberikan oleh
$x=r\cos \theta$    dan    $y=r\sin \theta$

Sebaliknya, jika kita tahu bahwa suatu titik P mempunyai koordinat Caatesius (x,y), maka koordinat polarnya adalah (r,$\theta$), dimana r dan $\theta$ memenuhi hubungan berikut
$r^2 = x^2 + y^2$    dan    $\tan \theta =\frac{y}{x}$

Dalam sistem koordinat polar, suatu kurva umumnya dinyatakan dalam bentuk $r=f(\theta )$, untuk suatu fungsi f.

2. Kalkulus dalam Koordinat Polar

a. Garis Singgung

Untuk menentukan garis singgung pada kurva polar $r=f(\theta )$, kita anggap $\theta$ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai berikut:
$x=r\cos \theta =f(\theta )\cos \theta$
$y=r\sin \theta =f(\theta )\sin \theta$

Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung  m pada kurva parametrik kita peroleh
$m=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta }{dx/d\theta }=\frac{f'(\theta )\sin \theta +f(\theta )\cos \theta }{f'(\theta )\cos \theta -f(\theta )\sin \theta}$

Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan $dy/d\theta =0$, asalkan $dx/d\theta \neq 0$. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan $dx/d\theta = 0$, asalkan $dy/d\theta \neq 0$.

b. Luas

Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor (juring) dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu
$L=\frac{1}{2}r^2\theta$
dengan $\theta$ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor lingkaran adalah sebanding dengan sudut pusatnya.

Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar $r=f(\theta )$ dan oleh dua garis $\theta$ = a dan $\theta$ = b, dimana f adalah kontinu dan tak negatif serta $0\leq b-a\leq 2\pi$.

Kita bagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung $\theta _{0},\theta _{1},...,\theta _{n}$ dan panjang masing-masing anak selang adalah $\Delta \theta$. Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat $\Delta \theta$.

Kita pilih $\theta ^*_{i}\in [\theta _{i-1},\theta _{i}]$. Jika $\Delta L_{i}$ menyatakan luas daerah bagian ke-i, maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas sektor lingkaran dengan jari-jari $f(\theta ^*_{i})$ dan sudut pusat $\Delta \theta$, yaitu
$\Delta L_{i}=\frac{1}{2}(f(\theta ^*_{i}))^2\Delta \theta$
Sehingga hampiran untuk total luas daerah D adalah
$L \approx \int_{a}^{b}\frac{1}{2}(f(\theta ))^2d\theta =\int_{a}^{b}\frac{1}{2}r^2d\theta$
Perhatikan bahwa jumlah di atas adalah sebuah jumlah Riemann, dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas daerah D jika $n\rightarrow \infty$.

Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas daerah D sebagai berikut
$L=\int_{a}^{b}\frac{1}{2}(f(\theta ))^2d\theta =\int_{a}^{b}\frac{1}{2}r^2d\theta$

c. Panjang Kurva

Kita ingin menentukan panjang kurva dari suatu persamaan polar $r=f(\theta )$ untuk $a\leq \theta \leq b$. Dengan mengasumsikan bahwa f' kontinu pada selang $[a\leq \theta \leq b]$, kita dapat menggunakan Teorema berikut ini untuk menentukan panjang kurva tersebut, yaitu
$P=\int_{a}^{b}\sqrt{\begin{pmatrix} \frac{dx}{d\theta } \end{pmatrix}^2 +\begin{pmatrix} \frac{dy}{d\theta } \end{pmatrix}^2}d\theta$
Karena $x=r\cos \theta$ dan $y=r\sin \theta$, maka panjang kurva dari suatu persamaan polar $r=f(\theta )$ untuk $a\leq \theta \leq b$ dapat ditentukan sebagai berikut

$P=\int_{a}^{b}\sqrt{r^2 +\begin{pmatrix} \frac{dr}{d\theta } \end{pmatrix}^2}d\theta$

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar