Skip to main content

Rangkuman dan Contoh Soal - Teknik Pengintegralan: Substitusi yang Merasionalkan dan Substitusi Trigonometri

Agar kita dapat mengerti pembahasan kali ini, Gengs diharuskan paham tentang "Konsep Integral dan Teknik Pengintegralan Fungsi trigonometri".

Bagi Gengs yang belum paham, Gengs dapat membuka link di bawah ini:Rangkuman dan Contoh Soal - Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri [Kalkulus]

Langsung saja ya Gengs kita masuk dalam materinya.

Metode Subsitusi

Apa itu metode substitusi dalam teknik pengintegralan ??? Berikut ini merupakan maksud dari substitusi dalam teknik pengintegralan.

Integral dalam bentuk
$\int f(g(x))g'(x)dx$
dapat dituliskan sebagai berikut.
$\int f(u)du$
dengan substitusi u = g(x) dan du = g'(x) dx. Jika F adalah anti-turunan f, maka
$\int f(g(x))g'(x)dx$
$=\int f(u)du$
$=F(u)+C$
$=F(g(x))+C$

Keberhasilan metode ini sangat tergantung dari pemisalan yang tepat dari bagian integran sebagai u sehingga rumus-rumus dasar pengintegralan dapat digunakan. Bagi integral berbatas atau integral tentu, metode substitusi dapat dalam bentuk langsung mengubah batas integralnya seperti berikut ini:
$\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)dx=\int_{u=g(a)}^{u=g(b)}f(u)du$

CONTOH 1
Tentukan integral berikut ini:
$\int x^2 \sqrt{10-x^3}dx$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
$u=10-x^3$, maka
$du=-3x^2 dx$
Sehingga akan menjadi
$=\frac{1}{3}\int\sqrt{u}du$
$=\frac{1}{3}\int u^\frac{1}{2}du$
$=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}.u^\frac{3}{2}+C$
$=\frac{2}{9}(10-x^3)\sqrt{10-x^3}$
$=-\frac{20}{9}\sqrt{10-x^3}+2x^3\sqrt{10-x^3}$

CONTOH 2
Tentukan integral berikut ini:
$\int_{e}^{e^2}\begin{pmatrix} \frac{1}{x \ln x} \end{pmatrix}dx$
Jawab:
Dalam mengerjakan soal di atas, hal pertama akan kita lakukan yaitu:
Memisalkan:
x = ln x, maka du = 1/x dx
Jangan lupa juga, karena soal diatas merupakan intergral tentu maka  nilai batasannya kita ubah. Sehingga diperoleh seperti berikut ini:
x = e maka u = ln e = 1
$x=e^2$ maka $u=\ln e^2 = 2$
Sehingg integralnya akan menjadi seperti di bawah ini.
$=\int_{1}^{2}\frac{du}{u}$
$=\ln |u|]^2_{1}$
$=\ln |2| -\ln |1|$
$=\ln |2|$

Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk $\sqrt[n]{ax+b}$  disebut ketakrasionalan linear, karena (ax + b) berbentuk linear dalam peubah x, tetapi bentuk linear itu berada di bawah tanda akar. Jika bentuk ketakrasionalan linear semacam ini menjadi integran dari suatu integral, maka substitusi akan menghilangkan tanda akarnya.
$u^n=ax+b$

Apabila integran mengandung beberapa pangkat pecahan dari peubah x, substitusi $u^n=x$ seringkali sangat efektif. Dalam hal ini n adalah kelipatan persekutuan terkecil penyebut dari pangkat.

CONTOH 3
Tentukan integral berikut ini.
$\int x\sqrt[5]{x-7}dx$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3 ini sama seperti contoh-contoh sebelumnya. Kita tentukan dahulu nilai u dan du-nya. Seperti berikut ini:
$u=\sqrt[5]{x-7}$
$u^5=x-7\rightarrow 5u^4du=dx$
$x=u^5+7$
Sehingga
$=\int (u^5+7)(u)(5u^4)du$
$=\int (u^5+7)5u^5du$
$=\int (5u^10+35u^5)du$
$=\frac{5}{1}u^11+\frac{35}{6}u^6+C$
$=\frac{5}{1}((x-7)^1/5)^11+\frac{35}{6}((x-7)^1/5)^6+C$
$=\frac{5}{1}((x-7)^11/5+\frac{35}{6}(x-7)^6/5+C$

CONTOH 4
Tentukan integral berikut.
$\int x\sqrt[3]{(x+2)^2}dx$
Jawab:
Misalkan:
$u=\sqrt[3]{(x+2)^2}=(x+2)^2/3$
$u^2/3=x+2\rightarrow x=u^2/3-2$
$\frac{3}{2}u^1/2 du=dx$
Sehingga
$=\int (u^3/2-2)u\frac{3}{2}u^1/2du$
$=\int (u^3/2-2)\frac{3}{2}u^3/2du$
$=\int (\frac{3}{2}u^3-3u^3/2)du$
$=\frac{3}{2}\frac{1}{4}u^4-\frac{3}{5/2}u^5/2+C$
$=\frac{3}{2}\frac{1}{4}((x+2)^2/3)^4-\frac{3}{5/2}((x+2)^2/3)^5/2+C$
$=\frac{3}{8}(x+2)^8/3-\frac{6}{5}(x+2)^5/3+C$

CONTOH 5
Tentukan integral berikut ini
$\int \frac{3^2x}{3^x+2}dx$
Jawab:
$=\int3^x \begin{pmatrix} \frac{3^x}{3^x+2} \end{pmatrix}dx$

Untuk menjawab soal ini, sama seperti contoh sebelumnya yaitu kita tentukan dahulu u-nya.
Misalkan:
$u=3^x+2$, maka
$du=3^x\ln 3 dx$
Sehingga
$=\int \frac{u-2}{u}\frac{1}{\ln 3}du$
$=\frac{1}{\ ln3}\int \frac{u-2}{u}du$
$=\frac{1}{\ ln3}\begin{bmatrix} \int du-2\int \frac{du}{u} \end{bmatrix}$
$=\frac{u}{\ln3}-\frac{2\ln u}{\ln3}+C$
$=\frac{3^x+2}{\ln3}-\frac{2\ln 3^x+2}{\ln3}+C$

Substitusi Trigonometri

Yang perlu kita ketahui, substitusi trigonometri akan berlaku apabila integran mengandung ekspansi-ekspansi seperti berikut ini:
1. $\sqrt{a^2-u^2}$
2. $\sqrt{a^2+u^2}$, atau
3. $\sqrt{u^2+a^2}$
dengan a merupakan konstanta bilangan nyata dan u merupakan variabel.
Sehingga lakukan pemisalan sebagai berikut ini.
Untuk ekspansi nomor 1
Misalkan, $u=a\sin \theta$
Untuk ekspansi nomor 2
Misalkan, $u=a\tan \theta$, dan
Untuk ekspansi nomor 3
Misalkan, $u=a\sec \theta$

CONTOH 6
Tentukan integral berikut ini:
$\int \frac{2e^x}{\sqrt{1-e^2x}}$
Jawab:
Untuk mengerjakan soal seperti ini kita mengacu lagi pada catatan di atas. Pertama-tama kita tentukan dahulu nilai a dan u-nya.
Dari soal di atas dapat kita peroleh bahwa:
$a=1,u=e^x$
Maka, nilai u-nya yaitu:
$u=1\sin \theta$
$e^x=\sin \theta \rightarrow e^xdx=\cos \theta d\theta$
Sehingga,
$=2\int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^2x}}dx$
$=2\int \frac{\cos \theta d\theta }{\sqrt{1-\sin^2 \theta }}$
$=2\int \frac{\cos \theta d\theta }{\sqrt{\cos^2 \theta }}$
$=2\int d\theta$
$=2\theta$
$=2\arcsin e^x$

CONTOH 7
Tentukan integral berikut ini:
$\int \frac{x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$
Jawab:
Sebelum mengerjakan lebih lajut, pertama-tama tentukan dahulu: a=1,u=2x, maka
$u=1\tan \theta$
$2x=1\tan\theta$
$2dx=\sec^2\theta d\theta$
Sehingga
$=\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{2\sqrt{1+4.\frac{1}{4}.\tan^2 \theta .2}}$
$=\frac{1}{4}\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$
$=\frac{1}{4}\int \frac{\tan \theta \sec^2 \theta d\theta }{\sqrt{\sec^2 \theta}}$
$=\frac{1}{4}\int \tan \theta \sec \theta d\theta$
$=\frac{1}{4} \sec \theta +C$
$=\frac{1}{4} \sqrt{1+4x^2}+C$

Sampai disini dulu ya Gengs. Semoga bermanfaat.

Terima kasih.

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar