Sebelum bahas tentang Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri ada baiknya kita me-review kembali Teorema Dasar Kalkulus.
Teorema Dasar KalkulusJika f kontinu pada selang [a,b] dan jika F’ adalah sembarang anti-turunan dari f pada [a,b], maka:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
Sehingga, jika kita bisa menentukan antiturunan baik itu integral tak-tentu atau integral tak-terbatas dari fungsi f maka kita dapat pula menentukan integral tentu fungsi f tersebut .
Berikut ini merupakan beberapa rumus dasar pengintegralan yang dapat kita gunakan untuk untuk menentukan anti-turunan.
1. $\int u^n du=\frac{u^n+1}{n+1}+C;n\neq -1$
2. $\int \frac{du}{u} du=\ln |u|+C$
3. $\int e^u du=e^u+C$
4. $\int a^u du=\frac{a^u}{\ln a}+C$
5. $\int \sin u du=-\cos u+C$
6. $\int \cos u du=\sin u+C$
7. $\int \sec ^2 u du=\tan u+C$
8. $\int \csc ^2 u du=-\cot u+C$
9. $\int \sec u \tan udu=-\sec u+C$
10. $\int \csc u \cot udu=-\csc u+C$
11. $\int \tan u du=-\ln |\cos u| +C$
12. $\int \cot u du=\ln |\sin u| +C$
13. $\int \sec u du=\ln |\sec u +\tan u| +C$
14. $\int \csc u du=\ln |\csc u -\cot u| +C$
15. $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 -u^2}}=\arcsin \begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C$
16. $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}\textrm{arcsec}\begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C$
17. $\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctan}\begin{pmatrix}\frac{u}{a}\end{pmatrix}+C$
Secara umum, menentukan antiturunan suatu fungsi adalah lebih sulit dari menentukan turunan fungsi tersebut. Oleh karena itu, kadangkala diperlukan teknik-teknik tertentu untuk mempermudah penentuan antiturunan suatu fungsi. Teknik-teknik untuk menentukan antiturunan inilah yang disebut teknik pengintegralan.
Untuk menyelesaikan kasus pertama ini, mari kita perhatikan dua hal berikut ini:
a. Jika n adalah bilangan bulat ganjil dan positif, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut ini:
$\sin^2 x+\cos^2 x =1$
untuk penyederhanaan lebih lanjut
b. Jika n adalah bilangan bulat genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut
$\sin^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1-\cos (2x) \end{pmatrix}$
Atau
$\cos^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+\cos (2x) \end{pmatrix}$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
CONTOH 1
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \cos^3 x dx$
Jawab:
$\int \cos^3 x dx$
$=\int \cos^2 x \cos x dx$
$=\int (1-\sin^2 x)\cos x dx$
kita misalkan:
u = sin x , du = cos x dx
Sehingga,
$=\int (1-u^2 )du$
$=u-\frac{1}{3}u^3+C$
$=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+C$
CONTOH 2
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^7 x dx$
Jawab:
$\int \sin^7 x dx$
$=\int \sin^6 x \sin x dx$
$=\int (\sin^2 x)^3 \sin x dx$
$=\int (1-\cos^2 x)^3 \sin x dx$
misalkan:
u = cos x, du = -sin x dx
Sehingga,
$=-\int (1-u^2 )^3 du$
$=-\int (1-3u^2-3u^4+u^6 ) du$
$=-u+u^3+3/5 u^5-1/7u^7+C$
$=-\cos x+(\cos x)^3+3/5 (\cos x)^5-1/7(\cos x)^7+C$
$\int \sin^m x \cos^n x dx$
Untuk menyelesaikan kasus dua ini, mari perhatikan dengan saksama dua hal berikut ini:
a. Jika m atau n adalah bilangan ganjil positif, sedangkan pangkat yang lain adalah bilangan nyata sembarang, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut.
$\sin^2 x \cos^2 x =1$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
b. Jika m dan n adalah bilangan bulan genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut untuk mereduksi derajat integral.
CONTOH 3
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^5 x \cos^2 x dx$
Jawab:
$\int \sin^5 x \cos^2 x dx$
$=\int (sin^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx$
$=\int (1-\cos^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx$
misalkan:
u = cos x , du = -sin x
Sehingga,
$=\int (1-u^2 )^2 u^2 -du$
$=-\int (u^2-2u^4+u^6) du$
$=- (u^3/3-2/5u^5+u^7/7) +C$
$=-\cos x^3/3-2/5(\cos x)^5+\cos x^7/7 +C$
CONTOH 4
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^4 x \cos^2x dx$
Jawab:
$\int \sin^4 x \cos^2x dx$
$=\int (\sin x \cos x)^2 \sin^2x dx$
$=\int \frac{(\sin 2x)^2}{4} \sin^2x dx$
$=\int \frac{(\sin^2 2x)}{4} (\frac{1-\cos 2x}{2}) dx$
$=\int \frac{1}{8}\sin^2 2x dx-\int \frac{1}{8}sin^2 2x \cos 2x dx$
$=\frac{1}{8}\int \frac{1-\cos 4x}{2} dx$
$=\frac{1}{16}x-\frac{1}{16}\int \cos 4x dx$
$=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+C$
$\int \tan^n x dx$
atau
$\int \cot^n x dx$
a. Apabila kasusnya tangen maka pisahkan seperti berikut
$\tan^2 x=\sec^2 x-1$
b. Apabila kasusnya kotangen maka pisahkan seperti berikut
$\cot^2 x=\csc^2 x-1$
CONTOH 5
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \tan^6 x dx$
Jawab:
$\int \tan^6 x dx$
$=\int \tan^4 x \tan^2 x dx$
$=\int \tan^4 x (\sec^2 x -1) dx$
$=\int (\tan^4 x \sec^2 x -\tan^4 x) dx$
$=\int \tan^4 x \sec^2 x -\int \tan^4 x dx$
misalkan:
u = tan x, maka:
$du=\sec^2 x$
Sehingga:
$=\int u^4 du -\int \tan^4 x dx$
$=\frac{1}{5}\tan^5 x-\int \tan^4 x dx$
$=\frac{1}{5}\tan^5 x-\frac{1}{3}\tan^3 x - x +C$
$\int \tan^4 x dx$ diperoleh dengan cara seperti berikut ini:
$\int \tan^4 x dx$
$=\int \tan^2 x \tan^2 x dx$
$=\int \tan^2 x (\sec^2 x-1) dx$
$=\int (\tan^2 x \sec^2 x-\tan^2 x) dx$
$=\int \tan^2 x \sec^2 x dx-\int \tan^2 x dx$
misalkan:
du = tan x, maka
$du=\sec^2 x dx$
Sehingga
$=\int u^2 du-\int \tan^2 x dx$
$=\frac{1}{3}u^3 -\int (\sec^2 x-1) dx$
$=\frac{1}{3}u^3 -\int \sec^2 x dx-\int 1 dx$
$=\frac{1}{3}u^3 - \tan x -x+C$
$=\frac{1}{3}\tan^3 x - \tan x -x+C$
$\int \tan ^m x \sec ^n xdx$
atau
$\int \cot ^m x \csc ^n xdx$
Untuk menyelesaikan kasus 4 ini, perhatikan dua hal berikut ini:
1. Jika n genap dan m sembarang, maka pisahkan $\sec^2 x$ atau $\csc^2 x$, dan sisa yang lain di konversi ke bentuk tangen atau kotangen dengan kesamaan $\sec^2 x=1+\tan^2 x$ dan $\csc^2 x=1+\cot^2 x$
2. Jika m ganjil dan n sembarang, maka pisahkan (sec x tan x) atau (csc x cot x), dan sisa yang lain dikonversi ke dalam bentuk secan atau kosekan.
a. sin mx cos nx
b. sin mx sin nx
c. cos mx cos nx
Untuk menyelesaikan integral semacam ini, kita perlu gunakan kesamaan berikut ini:
a. sin mx cos nx = 1/2 (sin (m + n) x + sin (m - n) x)
b. sin mx sin nx = -1/2 (cos (m + n) x - cos (m - n) x)
c. cos mx cos nx = 1/2 (cos (m + n) x + cos (m - n) x)
Demikian rangkuman dan beberapa contoh soal mengenai "Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri [Kalkulus]".
Terima kasih.
Semoga bermanfaat.
Teorema Dasar KalkulusJika f kontinu pada selang [a,b] dan jika F’ adalah sembarang anti-turunan dari f pada [a,b], maka:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
Sehingga, jika kita bisa menentukan antiturunan baik itu integral tak-tentu atau integral tak-terbatas dari fungsi f maka kita dapat pula menentukan integral tentu fungsi f tersebut .
Berikut ini merupakan beberapa rumus dasar pengintegralan yang dapat kita gunakan untuk untuk menentukan anti-turunan.
1. $\int u^n du=\frac{u^n+1}{n+1}+C;n\neq -1$
2. $\int \frac{du}{u} du=\ln |u|+C$
3. $\int e^u du=e^u+C$
4. $\int a^u du=\frac{a^u}{\ln a}+C$
5. $\int \sin u du=-\cos u+C$
6. $\int \cos u du=\sin u+C$
7. $\int \sec ^2 u du=\tan u+C$
8. $\int \csc ^2 u du=-\cot u+C$
9. $\int \sec u \tan udu=-\sec u+C$
10. $\int \csc u \cot udu=-\csc u+C$
11. $\int \tan u du=-\ln |\cos u| +C$
12. $\int \cot u du=\ln |\sin u| +C$
13. $\int \sec u du=\ln |\sec u +\tan u| +C$
14. $\int \csc u du=\ln |\csc u -\cot u| +C$
15. $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 -u^2}}=\arcsin \begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C$
16. $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}\textrm{arcsec}\begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C$
17. $\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctan}\begin{pmatrix}\frac{u}{a}\end{pmatrix}+C$
Secara umum, menentukan antiturunan suatu fungsi adalah lebih sulit dari menentukan turunan fungsi tersebut. Oleh karena itu, kadangkala diperlukan teknik-teknik tertentu untuk mempermudah penentuan antiturunan suatu fungsi. Teknik-teknik untuk menentukan antiturunan inilah yang disebut teknik pengintegralan.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Akan ada lima (5) kasus yang dibahas yakni:
Kasus 1
Integral yang mengandung ekspansi $\int \sin^n xdx$ atau $\int \cos^n xdx$Untuk menyelesaikan kasus pertama ini, mari kita perhatikan dua hal berikut ini:
a. Jika n adalah bilangan bulat ganjil dan positif, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut ini:
$\sin^2 x+\cos^2 x =1$
untuk penyederhanaan lebih lanjut
b. Jika n adalah bilangan bulat genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut
$\sin^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1-\cos (2x) \end{pmatrix}$
Atau
$\cos^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+\cos (2x) \end{pmatrix}$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
CONTOH 1
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \cos^3 x dx$
Jawab:
$\int \cos^3 x dx$
$=\int \cos^2 x \cos x dx$
$=\int (1-\sin^2 x)\cos x dx$
kita misalkan:
u = sin x , du = cos x dx
Sehingga,
$=\int (1-u^2 )du$
$=u-\frac{1}{3}u^3+C$
$=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+C$
CONTOH 2
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^7 x dx$
Jawab:
$\int \sin^7 x dx$
$=\int \sin^6 x \sin x dx$
$=\int (\sin^2 x)^3 \sin x dx$
$=\int (1-\cos^2 x)^3 \sin x dx$
misalkan:
u = cos x, du = -sin x dx
Sehingga,
$=-\int (1-u^2 )^3 du$
$=-\int (1-3u^2-3u^4+u^6 ) du$
$=-u+u^3+3/5 u^5-1/7u^7+C$
$=-\cos x+(\cos x)^3+3/5 (\cos x)^5-1/7(\cos x)^7+C$
Kasus 2
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:$\int \sin^m x \cos^n x dx$
Untuk menyelesaikan kasus dua ini, mari perhatikan dengan saksama dua hal berikut ini:
a. Jika m atau n adalah bilangan ganjil positif, sedangkan pangkat yang lain adalah bilangan nyata sembarang, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut.
$\sin^2 x \cos^2 x =1$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
b. Jika m dan n adalah bilangan bulan genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut untuk mereduksi derajat integral.
CONTOH 3
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^5 x \cos^2 x dx$
Jawab:
$\int \sin^5 x \cos^2 x dx$
$=\int (sin^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx$
$=\int (1-\cos^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx$
misalkan:
u = cos x , du = -sin x
Sehingga,
$=\int (1-u^2 )^2 u^2 -du$
$=-\int (u^2-2u^4+u^6) du$
$=- (u^3/3-2/5u^5+u^7/7) +C$
$=-\cos x^3/3-2/5(\cos x)^5+\cos x^7/7 +C$
CONTOH 4
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^4 x \cos^2x dx$
Jawab:
$\int \sin^4 x \cos^2x dx$
$=\int (\sin x \cos x)^2 \sin^2x dx$
$=\int \frac{(\sin 2x)^2}{4} \sin^2x dx$
$=\int \frac{(\sin^2 2x)}{4} (\frac{1-\cos 2x}{2}) dx$
$=\int \frac{1}{8}\sin^2 2x dx-\int \frac{1}{8}sin^2 2x \cos 2x dx$
$=\frac{1}{8}\int \frac{1-\cos 4x}{2} dx$
$=\frac{1}{16}x-\frac{1}{16}\int \cos 4x dx$
$=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+C$
Kasus 3
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:$\int \tan^n x dx$
atau
$\int \cot^n x dx$
a. Apabila kasusnya tangen maka pisahkan seperti berikut
$\tan^2 x=\sec^2 x-1$
b. Apabila kasusnya kotangen maka pisahkan seperti berikut
$\cot^2 x=\csc^2 x-1$
CONTOH 5
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \tan^6 x dx$
Jawab:
$\int \tan^6 x dx$
$=\int \tan^4 x \tan^2 x dx$
$=\int \tan^4 x (\sec^2 x -1) dx$
$=\int (\tan^4 x \sec^2 x -\tan^4 x) dx$
$=\int \tan^4 x \sec^2 x -\int \tan^4 x dx$
misalkan:
u = tan x, maka:
$du=\sec^2 x$
Sehingga:
$=\int u^4 du -\int \tan^4 x dx$
$=\frac{1}{5}\tan^5 x-\int \tan^4 x dx$
$=\frac{1}{5}\tan^5 x-\frac{1}{3}\tan^3 x - x +C$
$\int \tan^4 x dx$ diperoleh dengan cara seperti berikut ini:
$\int \tan^4 x dx$
$=\int \tan^2 x \tan^2 x dx$
$=\int \tan^2 x (\sec^2 x-1) dx$
$=\int (\tan^2 x \sec^2 x-\tan^2 x) dx$
$=\int \tan^2 x \sec^2 x dx-\int \tan^2 x dx$
misalkan:
du = tan x, maka
$du=\sec^2 x dx$
Sehingga
$=\int u^2 du-\int \tan^2 x dx$
$=\frac{1}{3}u^3 -\int (\sec^2 x-1) dx$
$=\frac{1}{3}u^3 -\int \sec^2 x dx-\int 1 dx$
$=\frac{1}{3}u^3 - \tan x -x+C$
$=\frac{1}{3}\tan^3 x - \tan x -x+C$
Kasus 4
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:$\int \tan ^m x \sec ^n xdx$
atau
$\int \cot ^m x \csc ^n xdx$
Untuk menyelesaikan kasus 4 ini, perhatikan dua hal berikut ini:
1. Jika n genap dan m sembarang, maka pisahkan $\sec^2 x$ atau $\csc^2 x$, dan sisa yang lain di konversi ke bentuk tangen atau kotangen dengan kesamaan $\sec^2 x=1+\tan^2 x$ dan $\csc^2 x=1+\cot^2 x$
2. Jika m ganjil dan n sembarang, maka pisahkan (sec x tan x) atau (csc x cot x), dan sisa yang lain dikonversi ke dalam bentuk secan atau kosekan.
Kasus 5
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:a. sin mx cos nx
b. sin mx sin nx
c. cos mx cos nx
Untuk menyelesaikan integral semacam ini, kita perlu gunakan kesamaan berikut ini:
a. sin mx cos nx = 1/2 (sin (m + n) x + sin (m - n) x)
b. sin mx sin nx = -1/2 (cos (m + n) x - cos (m - n) x)
c. cos mx cos nx = 1/2 (cos (m + n) x + cos (m - n) x)
Demikian rangkuman dan beberapa contoh soal mengenai "Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri [Kalkulus]".
Terima kasih.
Semoga bermanfaat.