Teorema Dasar KalkulusJika f kontinu pada selang [a,b] dan jika F’ adalah sembarang anti-turunan dari f pada [a,b], maka:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
Sehingga, jika kita bisa menentukan antiturunan baik itu integral tak-tentu atau integral tak-terbatas dari fungsi f maka kita dapat pula menentukan integral tentu fungsi f tersebut .
Berikut ini merupakan beberapa rumus dasar pengintegralan yang dapat kita gunakan untuk untuk menentukan anti-turunan.
1. $\int u^n du=\frac{u^n+1}{n+1}+C;n\neq -1$
2. $\int \frac{du}{u} du=\ln |u|+C$
3. $\int e^u du=e^u+C$
4. $\int a^u du=\frac{a^u}{\ln a}+C$
5. $\int \sin u du=-\cos u+C$
6. $\int \cos u du=\sin u+C$
7. $\int \sec ^2 u du=\tan u+C$
8. $\int \csc ^2 u du=-\cot u+C$
9. $\int \sec u \tan udu=-\sec u+C$
10. $\int \csc u \cot udu=-\csc u+C$
11. $\int \tan u du=-\ln |\cos u| +C$
12. $\int \cot u du=\ln |\sin u| +C$
13. $\int \sec u du=\ln |\sec u +\tan u| +C$
14. $\int \csc u du=\ln |\csc u -\cot u| +C$
15. $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 -u^2}}=\arcsin \begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C$
16. $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}\textrm{arcsec}\begin{pmatrix} \frac{u}{a} \end{pmatrix}+C$
17. $\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctan}\begin{pmatrix}\frac{u}{a}\end{pmatrix}+C$
Secara umum, menentukan antiturunan suatu fungsi adalah lebih sulit dari menentukan turunan fungsi tersebut. Oleh karena itu, kadangkala diperlukan teknik-teknik tertentu untuk mempermudah penentuan antiturunan suatu fungsi. Teknik-teknik untuk menentukan antiturunan inilah yang disebut teknik pengintegralan.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Akan ada lima (5) kasus yang dibahas yakni:
Kasus 1
Integral yang mengandung ekspansi $\int \sin^n xdx$ atau $\int \cos^n xdx$Untuk menyelesaikan kasus pertama ini, mari kita perhatikan dua hal berikut ini:
a. Jika n adalah bilangan bulat ganjil dan positif, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut ini:
$\sin^2 x+\cos^2 x =1$
untuk penyederhanaan lebih lanjut
b. Jika n adalah bilangan bulat genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut
$\sin^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1-\cos (2x) \end{pmatrix}$
Atau
$\cos^2 x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+\cos (2x) \end{pmatrix}$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
CONTOH 1
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \cos^3 x dx$
Jawab:
$\int \cos^3 x dx$
$=\int \cos^2 x \cos x dx$
$=\int (1-\sin^2 x)\cos x dx$
kita misalkan:
u = sin x , du = cos x dx
Sehingga,
$=\int (1-u^2 )du$
$=u-\frac{1}{3}u^3+C$
$=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x+C$
CONTOH 2
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^7 x dx$
Jawab:
$\int \sin^7 x dx$
$=\int \sin^6 x \sin x dx$
$=\int (\sin^2 x)^3 \sin x dx$
$=\int (1-\cos^2 x)^3 \sin x dx$
misalkan:
u = cos x, du = -sin x dx
Sehingga,
$=-\int (1-u^2 )^3 du$
$=-\int (1-3u^2-3u^4+u^6 ) du$
$=-u+u^3+3/5 u^5-1/7u^7+C$
$=-\cos x+(\cos x)^3+3/5 (\cos x)^5-1/7(\cos x)^7+C$
Kasus 2
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:$\int \sin^m x \cos^n x dx$
Untuk menyelesaikan kasus dua ini, mari perhatikan dengan saksama dua hal berikut ini:
a. Jika m atau n adalah bilangan ganjil positif, sedangkan pangkat yang lain adalah bilangan nyata sembarang, maka pisahkan sin x atau cos x, lalu gunakan kesamaan berikut.
$\sin^2 x \cos^2 x =1$
untuk penyederhanaan lebih lanjut.
b. Jika m dan n adalah bilangan bulan genap positif, maka gunakan rumus setengah sudut untuk mereduksi derajat integral.
CONTOH 3
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^5 x \cos^2 x dx$
Jawab:
$\int \sin^5 x \cos^2 x dx$
$=\int (sin^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx$
$=\int (1-\cos^2 x)^2 \cos^2 x \sin x dx$
misalkan:
u = cos x , du = -sin x
Sehingga,
$=\int (1-u^2 )^2 u^2 -du$
$=-\int (u^2-2u^4+u^6) du$
$=- (u^3/3-2/5u^5+u^7/7) +C$
$=-\cos x^3/3-2/5(\cos x)^5+\cos x^7/7 +C$
CONTOH 4
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \sin^4 x \cos^2x dx$
Jawab:
$\int \sin^4 x \cos^2x dx$
$=\int (\sin x \cos x)^2 \sin^2x dx$
$=\int \frac{(\sin 2x)^2}{4} \sin^2x dx$
$=\int \frac{(\sin^2 2x)}{4} (\frac{1-\cos 2x}{2}) dx$
$=\int \frac{1}{8}\sin^2 2x dx-\int \frac{1}{8}sin^2 2x \cos 2x dx$
$=\frac{1}{8}\int \frac{1-\cos 4x}{2} dx$
$=\frac{1}{16}x-\frac{1}{16}\int \cos 4x dx$
$=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+C$
Kasus 3
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:$\int \tan^n x dx$
atau
$\int \cot^n x dx$
a. Apabila kasusnya tangen maka pisahkan seperti berikut
$\tan^2 x=\sec^2 x-1$
b. Apabila kasusnya kotangen maka pisahkan seperti berikut
$\cot^2 x=\csc^2 x-1$
CONTOH 5
Dengan teknik pengintegralan, tentukan fungsi berikut ini:
$\int \tan^6 x dx$
Jawab:
$\int \tan^6 x dx$
$=\int \tan^4 x \tan^2 x dx$
$=\int \tan^4 x (\sec^2 x -1) dx$
$=\int (\tan^4 x \sec^2 x -\tan^4 x) dx$
$=\int \tan^4 x \sec^2 x -\int \tan^4 x dx$
misalkan:
u = tan x, maka:
$du=\sec^2 x$
Sehingga:
$=\int u^4 du -\int \tan^4 x dx$
$=\frac{1}{5}\tan^5 x-\int \tan^4 x dx$
$=\frac{1}{5}\tan^5 x-\frac{1}{3}\tan^3 x - x +C$
$\int \tan^4 x dx$ diperoleh dengan cara seperti berikut ini:
$\int \tan^4 x dx$
$=\int \tan^2 x \tan^2 x dx$
$=\int \tan^2 x (\sec^2 x-1) dx$
$=\int (\tan^2 x \sec^2 x-\tan^2 x) dx$
$=\int \tan^2 x \sec^2 x dx-\int \tan^2 x dx$
misalkan:
du = tan x, maka
$du=\sec^2 x dx$
Sehingga
$=\int u^2 du-\int \tan^2 x dx$
$=\frac{1}{3}u^3 -\int (\sec^2 x-1) dx$
$=\frac{1}{3}u^3 -\int \sec^2 x dx-\int 1 dx$
$=\frac{1}{3}u^3 - \tan x -x+C$
$=\frac{1}{3}\tan^3 x - \tan x -x+C$
Kasus 4
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:$\int \tan ^m x \sec ^n xdx$
atau
$\int \cot ^m x \csc ^n xdx$
Untuk menyelesaikan kasus 4 ini, perhatikan dua hal berikut ini:
1. Jika n genap dan m sembarang, maka pisahkan $\sec^2 x$ atau $\csc^2 x$, dan sisa yang lain di konversi ke bentuk tangen atau kotangen dengan kesamaan $\sec^2 x=1+\tan^2 x$ dan $\csc^2 x=1+\cot^2 x$
2. Jika m ganjil dan n sembarang, maka pisahkan (sec x tan x) atau (csc x cot x), dan sisa yang lain dikonversi ke dalam bentuk secan atau kosekan.
Kasus 5
Integral yang mengandung ekspansi berikut ini:a. sin mx cos nx
b. sin mx sin nx
c. cos mx cos nx
Untuk menyelesaikan integral semacam ini, kita perlu gunakan kesamaan berikut ini:
a. sin mx cos nx = 1/2 (sin (m + n) x + sin (m - n) x)
b. sin mx sin nx = -1/2 (cos (m + n) x - cos (m - n) x)
c. cos mx cos nx = 1/2 (cos (m + n) x + cos (m - n) x)
Demikian rangkuman dan beberapa contoh soal mengenai "Teknik Pengintegralan Fungsi Trigonometri [Kalkulus]".
Terima kasih.
Semoga bermanfaat.