Skip to main content

Terapan Turunan - Cara Menentukan Ekstrem Global dan Ekstrem Lokal

Definisi Nilai Ekstrem Global dan Ekstrem Lokal
Fungsi f memiliki maksimum lokal di  $c\in D_{f}$  jika $f(c)\geq f(x),\forall x$ anggota selang tertutup yang memuat c.
Fungsi f memiliki minimum lokal di  $c\in D_{f}$  jika $f(c)\leq f(x),\forall x$ anggota selang terbuka yang memuat c.

Misalkan fungsi f terdefinisikan pada daerah asal D, maka:
Fungsi f memiliki maksimum global di $c\in D$ jika $f(c)\geq f(x),\forall x\in D$. f(c) disebut nilai maksimum f pada D.
Fungsi f memiliki minimum global di $c\in D$ jika  $f(c)\leq f(x),\forall x\in D$. f(c) disebut nilai maksimum f pada D.

ILUSTRASI
Mathematics
Teorema
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f memiliki minimum mutlak $m=f(x_{1})$ dan maksimum mutlak $m=f(x_{2}), x_{1},x_{2}\in [a,b]$.
Artinya:
Jika f kontinu pada [a,b], maka f memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak.
Jika f tak kontinu pada [a,b], maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.

Cara Menentukan Ekstrem Global dan Ekstrem Lokal

Ekstrem Global
Misalkan f terdefinisikan pada [a,b] maka:
1. Tetapkan bilangan-bilangan kritis pada (a,b)
    Bilangan kritis adalah bilangan c di (a,b) dengan f '(c) = 0 atau f '(c) tidak ada
2. Evaluasi f pada bilangan kritis dan titik-titik ujung a dan b
    Nilai terbesar --> maksimum global
    Nilai terkecil --> minimum global

Ekstrem Lokal
1. Cari bilangan kritis c
2. Periksa tanda nilai f ' pada selang antara bilangan kritis atau ujung selang
3. Jika f ' berbeda tanda [ ++++ -----] maka f(c) maksimum lokal
    Jika f ' berbeda tanda [---- ++++] maka f(c) minimum lokal
    Jika f ' tidak berbeda tanda maka f tidak memiliki ekstrem lokal.

CONTOH
$f(x)=\frac{x}{x+1};x\in [1,2]$
Pertama-tama. tentukan bilangan kritisnya:
f '(x) = 0
 $\Leftrightarrow \frac{x+1-x}{(x+1)^{2}}=0$
       $\frac{1}{(x+1)^{2}}=0$
maka tidak ada x yang memenuhi.
f '(x) tidak ada  <-->  x + 1 = 0  <--> x = -1 bukan anggota [1,2]
maka f tidak mempunyai bilangan kritis
f(1) = 1/2 .............. f(1) minimum global
f(2) = 2/3 .............. f(2) maksimum global

CATATAN
Misalkan f fungsi kontinu dan f '(x) dan f ''(x) ada
Turunan pertama: untuk mengetahui naik/turun fungsu f di suatu selang
     a. f '(x) > 0 pada suatu selang maka f naik pada selang tersebut.
     b. f '(x) < 0 pada suatu selang maka f turun pada selang tersebut.
Turunan kedua: untuk mengetahui kecekungan fungsi f di suatu selang terbuka I.
     a. f ''(x) > 0 , Untuk setiap x anggota I maka f cekung ke atas pada I
     b. f ''(x) < 0 , Untuk setiap x anggota I maka f cekung ke bawah pada I
Uji turunan kedua pada ektrem lokal:
a. f '(c) = 0, f ''(c) > 0 maka f(c) minimum lokal
b. f '(c) = 0, f ''(c) < 0 maka f(c) maksimum lokal
c. f '(c) = 0, f ''(c) = 0 maka uji turunan kedua gagal

Misalkan f kontinu pada $c\in I(a,b)$ dan f ''(c) = 0 atau f ''(c) tidak ada
Jika ++++++ - - - - - (f '') maka (c , f(c)) adalah titik belok fungsi f.

CONTOH
Tentukan selang naik/turun, ekstrem lokal, selang kecekungan dan titik belok dari
$f(x)=2x^{3}+9x^{2}-10$

Tentukan turunan pertama
$f'(x)=6x^{2}-18x\rightarrow f'(x)=0$
    $\Leftrightarrow f'(x)=6x^{2}-18x$
    6x (x + 3) = 0
    x = 0 atau x = -3
Mathematics
 dari gambar di atas dapat ditentukan bahwa:
f naik pada (min takhingga, -3) dan (0, takhingga)
f turun pada (-3,0)
saat x = -3, f(-3) = 17 maka maksimum lokal
saat x = 0, f(0) = -10 maka minimum lokal

Tentukan turunan kedua
f ''(x) = 12x + 18
f ''(x) = 0
12x + 18 = 0
x = - 3/2
Mathematics
f cekung ke atas pada (-3/2 , takhingga)
f cekung ke bawah pada (min takhingga , -3/2)

Sehingga grafik fungsi f sebagai berikut:
Mathematics

Oke dehh Gengs, sampai di sini dulu tentang Terapan Turunan - Cara Menentukan Ekstrem Global dan Ekstrem Lokal.

Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar