Skip to main content

Rangkuam Materi - Deret Taylor, Maclaurin Dan Deret Binomial

Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Pada kesempatan kali ini kita akan menyelidiki masalah yang lebih umum yaitu fungsi manakah yang mempunyai penyaian deret pangkat dan bagaimana menentukannya?

Kita akan memulainya dengan memisalkan suatu fungsi f sebagai sembarang fungsi yang dapat kita nyatakan sebagai deret pangkat.
$f(x)=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan di atas sehingga akan menghasilkan $f(a)=c_{0}$.

Jika persamaan f(x) di atas diturunkan, maka akan di peroleh sebagai berikut.
$f'(x)=c_{1}+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^{2}+4c_{4}(x-a)^{3}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan di atas sehingga akan menghasilkan $f'(a)=c_{1}$.

Jika persamaan f '(x) di atas diturunkan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut ini.
$f''(x)=2c_{2}+2.3c_{3}(x-a)+3.4c_{4}(x-a)^{2}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan di atas sehingga akan menghasilkan $f''(a)=2c_{2}$.

Jika persamaa f ''(x) diturunkan, maka kita akan peroleh persamaan f '''(x) seperti berikut ini.
$f'''(x)=2.3c_{3}+2.3.4c_{4}(x-a)+3.4.5c_{5}(x-a)^{2}+...$
dimana $\mid x-a\mid < \mathbb{R}$.
Substitusikan x = a pada persamaan f '''(x) di atas sehingga akan menghasilkan $f'''(a)=2.3c_{3}=3!c_{3}$.

Jika proses di atas dilanjutkan terus, maka secara umum kita akan peroleh:
$f^{n}(a)=2\times 3\times 4\times 3\times ...\times n\times c_{n}$
ATAU
$c_{n}=\frac{f^{{n}}a}{n!}$

Jika f mempunyai penyaian deret pangkat di a, yaitu jika
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n},\mid x-a \mid < \mathbb{R}$
maka koefisiennya diberikan oleh:
$c_{n}=\frac{f^{n}a}{n!}$

CATATAN
Koefisien $c_{n}$ di atas adalah tunggal. Jadi, jika f memiliki penyaian deret pangkat di a, maka deretnya pasti berbentuk:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}a}{n!}(x-a)^{n}$
$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+...$
Suatu fungsi tidak dapat digambarkan oleh lebih dari satu deret pangkat dari (x - a).
Deret pada persamaan di atas disebut deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a).

Untuk kasus khusus saat a = 0, maka deret Taylor-nya akan menjadi seperti berikut ini:
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+...$
Deret ini sering muncul sehingga diberi nama khusu sebagai deret Maclaurin.

Teorema Taylor
Misalkan f adalah fungsi yang memiliki turunan pada semua tingkatan untuk $x\in (a-\mathbb{R},a+\mathbb{R})$. Syarat perlu dan syarat cukup agar fungsi tersebut sama dengan deret Taylor-nya adalah
$\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)=0$
dengan $R_{n}(x)$ adalah suku sisa dalam rumus Taylor, yaitu:
$R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
untuk sembarang $c\in (a-\mathbb{R},a+\mathbb{R})$

CATATAN
1. Jika kita ingin mengetahui nilai fungsi f(x) untuk x di sekitar a, maka lebih baik menggunakan deret Taylor untuk fungsi tersebut di a.
2. Jika $\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}(x)\neq 0$, maka deret Taylor untuk fungsi f(x) mungkin saja konvergen pada suatu selang, tetapi tidak menggambarkan fungsi f(x) pada selang tersebut.

Misalkan $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$  dan $g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$  adalah dua deret pangkat yang masing-masing konvergen untuk paling tidak $\mid x \mid < \mathbb{R}$, dengan R suatu bilangan nyata. Jika penumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dilakukan terhadap deret-deret tersebut dengan memperlakukannya sebagai suku banyak, maka deret-deret yang diperoleh akan konvergen untuk $\mid x \mid < \mathbb{R}$, dan masing-masing menyatakan fungsi $f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x) dan f(x)/g(x)$ jika $g_{0}\neq 0$.

Deret Binomial

Deret Binomial merupakan salah satu bentuk khusus dari deret Maclaurin.

Teorem deret Binomial
Untuk setiap bilangan nyata p dan x dengan |x| < 1 berlaku
$(1+x)^p =1+\begin{pmatrix} p\\ 1 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} p\\ 2 \end{pmatrix}x^2 +\begin{pmatrix} p\\ 3 \end{pmatrix}x^3+...$
dengan
$\begin{pmatrix} p\\ k \end{pmatrix}=\frac{p(p-1)(p-2)...(p-k+1)}{k!}$

Beberapa deret Maclaurin yang penting

Demikian Rangkuam Materi - Deret Taylor, Maclaurin Dan Deret Binomial.
Semoga bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar