Hallo Gengs 🙌😁 Apa kabar hari ini? Semoga sehat selalu yeee
Pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan beberapa contoh soal mengenai barisan tak hingga dalam kalkulus.
Bagi yang
kurang mengerti materinya, Gengs dapat mempelajarinya dengan mengklik link berikut ini: Ringkasan Materi Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus
Langsung saja yaaaa
Berikut ini merupakan contoh soal dan pembahasannya
Nomor 1
Buktikan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ dengan $a_{n}=\frac{2n+3}{n}$ untuk $n\geq 1$ adalah barisan yang konvergen ke 2.
Jawab:
Akan dibuktikan :
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=2$ $\Leftrightarrow n> N\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
misal: $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{2n+3-2n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$n> \frac{3}{\epsilon } \Rightarrow N=\frac{3}{\epsilon }$
akan dibuktikan: jika $n> \frac{3}{\epsilon }$ maka $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
misalkan:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
akan dibuktikan:
$\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
Bukti:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
$\epsilon > \frac{3}{n }$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n-2n}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n}{n}-2 \end{vmatrix}$
maka TERBUKTI bahwa barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 2
$\begin{Bmatrix} \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)} \end{Bmatrix}$
Dengan menggunakan teorema apit, periksa kekonvergenan barisan di atas.
$\frac{n}{2n+3}\leq \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)}\leq \frac{n+1}{2n+3}$
$a_{n}=\frac{n}{2n+3}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}$
$c_{n}=\frac{n+1}{2n+3}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}$
Karena $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\textrm{dan} \begin{Bmatrix} c_{n} \end{Bmatrix}$ adalah barisan-barisan yang konvergen ke 1/2 maka berdasarkan teorema apit barisan tersebut konvergen ke 1/2.
Nomor 3
Periksa kekonvergenen barisan berikut ini:
$\begin{Bmatrix} \frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n} \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3, yang perlu diingat yaitu apabila di soal perintahnya adalah periksa kekonvergenan maka hanya cukup mencari limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n}=2$Sehingga dengan mudah dapat diperoleh hasilnya, dimana barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 4
Periksa kekonvergenan barisan di bawah ini:
$\begin{Bmatrix} (-1)^{n}(\ln n^{2})/(n) \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 4 pun sama seperti cara menjawab soal nomor 3 yaitu dengan mencari nilai limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{vmatrix} \frac{(-1)^n(\ln n^{2})}{n} \end{vmatrix}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{|\ln n^{2}|}{|n|}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\ln n^{2}}{n}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}2n}{1}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n}=0$
Sehingga barisan diatas konvergen ke 0.
Nomor 5
$a_{n}=\frac{3n+5}{n}$
Gunakan definisi limit untuk membuktikan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3 jika $n\rightarrow \infty$
Jawab:
Diketahui:
$\forall \epsilon > 0,\exists N\ni n> N$
maka $|a_{n}-3|< \epsilon$
Misal:
$|a_{n}-3|< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5-3n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{5}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\Rightarrow \frac{5}{\epsilon }< n$
$\Rightarrow N=\frac{5}{\epsilon }$
akan dibuktikan: jika $n> \frac{5}{\epsilon }\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
misal : $n> \frac{5}{\epsilon }$
adb: $n> \frac{5}{\epsilon }$
Bukti:
$n> \frac{5}{\epsilon }$
$\Leftrightarrow\epsilon > \frac{5}{n}$
$\epsilon >| \frac{5}{n}|$
$\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{5+3n-3n}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}$
Maka terbukti $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3.
Demikian contoh-contoh soal dari Barisan Tak Hingga.
Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.
Semoga Bermanfaat
