Skip to main content

Cara Menentukan Nilai Determinan Suatu Matriks

Hallo Gengs 🙌😁 Apa kabar hari ini? Semoga sehat selalu yeee

Pada kesempatan kali ini, saya akan berbagi tips atau cara-cara yang dapat digunakan untuk mencari nilai determinan suatu matriks.

Namun sebelumnya berikut ini merupakan link-link yang Gengs dapat gunakan untuk mempelajari apa itu determinan suatu matriks. Diantaranya :
1. Rangkuman Metode Minor-Kofator dan Sarrus Untuk Menentukan Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan
2. Matriks - Metode Minor Kofaktor
3. Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi

Setelah mempelajari materinya, berikut ini merupakan contoh serta cara menentukan determinan suatu matriks.

Minor-Kofaktor

Pertama. Cara pertama yaitu dengan metode minor-kofaktor

catatan:
Misalkan A merupakan matriks segi berukuran n x n
Jika n = 1 maka determinan dari matriks A [det(A)] = $a_{11}$
Jika n > 1 [lebih dari satu] maka determinan dari matriks A yaitu
   1. saat i merupakan bilangan sembarang,  $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha _{ij}$. i merupakan baris dan j merupakan kolom.
   2. saat j merupakan bilangan sembarang, $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\alpha _{ij}$. i merupakan baris dan j merupakan kolom

Catatan:
misalkan $A=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}$ adalah matriks n x n, maka:
a. $M_{ij}$ adalah minor elemen $a_{ij}$ yaitu determinan anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.
b. Kofaktor $A_{ij}$ dari $a_{ij}$ didefinisikan sebagai $\alpha _{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$.

Contoh:
Tentukan determinan matriks A berikut ini.
$A=\begin{pmatrix} 3 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &1 \end{pmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal tersebut, mari perhatikan catatan di atas. Pada catatan di atas, apabila n-nya lebih dari 1 [ukuran matriks] maka kita bisa gunakan (1) atau (2). Pada contoh pertama ini akan saya gunakan (1). Apabila menggunakan cara (1) maka kita harus tentukan sembarang i [baris matriks], pada contoh ini saya gunakan baris ke-2.

Sehingga, berikut ini adalah jawabannya.
det(A) = $\sum_{j=1}^{3}a_{2j}\alpha _{2j}$
det(A) = $a_{21}\alpha _{21}+a_{22}\alpha _{22}+a_{23}\alpha _{23}$

Selanjutnya kita mesti mengetahui nilai alfa-nya denga cara seperti pada catatan di atas:
1. $\alpha _{21}=(-1)^{2+1}M_{21}$
    $\alpha _{21}=-\begin{vmatrix} -2 &1 \\ -3& 1 \end{vmatrix}$
    $\alpha _{21}=-[(-2)(1)-(-3)(1)]=-1$
2. $\alpha _{22}=(-1)^{2+2}.M_{22}$
    $\alpha _{22}=\begin{vmatrix} 3 &1 \\ 0& 1 \end{vmatrix}$
    $\alpha _{22}=[(3)(1)-(0)(1)]=3$
3. $\alpha _{23}=(-1)^{2+3}.M_{23}$
    $\alpha _{23}=-\begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 0 &-3 \end{vmatrix}$
    $\alpha _{23}=-[(3)(-3)-(0)(-2)]=9$

Sedangkan untuk nilai a-nya diperoleh dari matriks A, dimanya:
$a_{21}=1$ ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-1)
$a_{22}=3$ ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-2)
$a_{23}=2$ ( nilai matrik A pada baris ke-2 kolom ke-3)

Langkah terakhir yaitu masukkan nilai alfa dan a yang telah diperoleh ke rumus det(A) tersebut,
det(A) = (-1)(1) + (3)(3) + (9)(2) = 26

CATATAN
  • Dalam pemilihan baris atau kolom yang digunakan tidak perlu dipersoalkan karena akan menghasilkan determinan yang sama.
  • Lebih mudah untuk menggunakan baris atau kolom yang mempunyai elemen nol.
  • Untuk matrika berukuran sama diproses dengan cara yang sama.

Menggunakan Sifat-Sifat Determinan

1. det(A) = $det(A^{T})$
    CONTOH
    $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &4 &7 \\ 2 &5 &8 \\ 3 &6 &9 \end{pmatrix}$

2. Jika 2 baris atau kolom matrils A dipertukarkan maka diperoleh matriks B.
    det(B) = - det (A)
    CONTOH
    $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 1 &2 &3 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 4 &6 &5 \\ 7 &9 &8\\ 1 &3 &2 \end{pmatrix}$

3. Jika suatu baris atau kolom digandakan dengan skalar k sehingga didapat matriks B.
    det(B) = k det(A)
    CONTOH
    $\begin{pmatrix} 2 &4 &6 \\ 4 &5 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$

4. Jika suati baris atau kolom matriks A ditambah dengan k kali baris atau kolom lainnya sehingga didapat matriks B
    det(A) = det (B)
    CONTOH
    $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 4 & 5& 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &8 \\ 4 &5 &6 \end{pmatrix}$
    Baris kedua matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan antara baris pertama yang dikali dua dengan baris keduanya.

5. Jika ada satu baris atau kolom yang semua elemennya nol maka det(A) = 0
    CONTOH
    $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &0 \\ 4 & 5& 6 \end{pmatrix}=0$
    $\begin{pmatrix} 0 &2 &3 \\ 0 &4 &2 \\ 0 & 5& 6 \end{pmatrix}=0$

6. Juka ada satu baris atau kolom yang merupakan kelipatan dari baris atau kolom maka det(A) =0
    CONTOH
    $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &4 &6 \\ 7 & 8& 9 \end{pmatrix}=0$
    $\begin{pmatrix} 1 &2 &5 \\ 2 &4 &7 \\ 3 &6 & 8 \end{pmatrix}=0$

7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah maka determinan merupakan perkalian unsur-unsur diagonal utamanya.
    CONTOH
    $\begin{pmatrix} 1 &2 &5 \\ 0 &4 &7 \\ 0 &0 & 8 \end{pmatrix}=(1)(4)(8)=32$
    $\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 9 &2 &0 \\ 3 &4 & 8 \end{pmatrix}=(1)(2)(8)=16$

8. Jika matriks segi A dan Segi B memiliki ukuran yang sama maka det(AB) = det(A) det(B)
    CONTOH
    $A=\begin{pmatrix} 3 &1 \\ 2 &1 \end{pmatrix}$
    det(A) = (3)(1) - (2)(1) =1

    $B=\begin{pmatrix} -1 &3 \\ 5 &8 \end{pmatrix}$
    det(B) = (-1)(8) - (5)(3) = -23

    $AB=\begin{pmatrix} 3&1 \\ 2 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 \\ 5 &8 \end{pmatrix}$
    $AB=\begin{pmatrix} 3(-1)+1.5&3.3+1.8 \\ 2(-1)+1.5 &2.3+1.8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 &17 \\ 3 & 14 \end{pmatrix}$
    det(AB) = (2)(14) - (3)(17) = -23

Menggunakan Operasi Baris Dasar

Contoh:
Tentukan determinan matriks A dengan menggunakan operasi baris dasar (OBD) berikut ini.
$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \\ 2 &1 &2 \end{pmatrix}$
Jawaban:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &1 &4 \\ 2 &1 &2 \end{pmatrix}\rightarrow ^{E_{21(-1)}}\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &1 \\ 2 &1 &2 \end{pmatrix}$
$\rightarrow ^{E_{31(-2)}}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &-3 & -4 \end{pmatrix}\rightarrow ^{E_{32(-3)}}=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &1 \\ 0 &0 & -7 \end{pmatrix}$
det(A) = (1)(-1)(-7) = 7

Untuk berlatih lebih banyak soal tentang matriks, Gengs dapat membuka link-link berikut ini:
1. Contoh Soal Matriks Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Dan Campuran - Plus Jawabannya
2. Contoh Soal Matriks Invers dan Pembahasan3. Contoh Soal Matriks dan Operasinya + Penyelesaiannya

Demikian contoh-contoh soal dan pembahasannya.
Semoga bermanfaat

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar