Skip to main content

Rangkuman Peluang Matematika


Pada permodelan stokastik kita sering perlu memeriksa validitas suatu model dengan menggunakan data empirik.

Agar bisa memperoleh data empirik yang menggambarkan perilaku suatu fenomena, kadangkala kita perlu mengadakan percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama.

Meskipun diulang dalam kondisi yang sama, hasil percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat, namun kita mengetahui semua kemungkinan hasilnya.

Ruang Contoh
Himpunan semua hasil suatu percobaan acak disebut ruang contoh atau yang sering disebut ruang sampel. Lambangnya dinotasikan dengan $\Omega$ [omega].

Setiap unsur atau anggota ruang contoh disebut titik contoh.

Ruang contoh suatu percobaan akan berbeda-beda tergantung dari tujuan percobaan tersebut atau tergantung dari apa yang diamati terhadap hasil suatu percobaan.

Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian suatu ruang contoh.

Kita katakan suatu kejadian E, $E \subseteq \Omega$, muncul atau terjadi jika hasil percobaan berpadanan dengan sebuah unsur dari E.

Suatu kejadian yang hanya terdiri atas satu unsur ruang contoh disebut kejadian sederhana.

Kejadian-kejadian lainnya, pada dasarnya dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa kejadian sederhana dan disebut dengan kejadian majemuk.

Komplemen Suatu Kejadian
Jika E adalah suatu kejadian, maka komplemen [tandingan] dari E yang biasa ditulis $E^{C}$. Komplemen suatu kejadian adalah suatu kejadian yang unsurnya adalah semua anggota ruang contoh $\Omega$ yang tidak merupakan unsur dari E.

Dua Kejadian Lepas
Jika E dan F adalah dua kejadian, maka E dan F disebut dua kejadia lepas atau terpisah, jika dan hanya jika tidak ada unsur dari E yang juga merupakan unsur dari F atau sebaliknya.

Gabungan Dua Kejadian
Gabungan dua kejadian E dan F, ditulis $E\cup F$ adalah suatu kejadian yang unsurnya adalah semua unsur ruang contoh yang termasuk unsur kejadian E atau unsur kejadian F atau unsur keduaya [E dan F].

Irisan Dua Kejadian
Irisan dua kejadian E dan F yang dituliskan sebagai $E\cap F$ adalah suatu kejadian yang unsurnya adalah semua unsur ruang contoh yang sekaligus termasuk unsur kejadian E dan kejadian F.

Medan $\sigma$ (sigma)
Medan $\sigma$ (sigma) adalah suatu himpunan f  yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh serta memenuhi syarat-syarat di bawah ini:
1. $ 0 \in f$
2. Jika $A_{1},A_{2},A_{3},....\in f$ maka $\bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i}\in f$
3. Jika $A\in f$ maka $A^{c}\in f$ dengan $A^{c}$ menyatakan komplemen dari A.

Jadi, suatu himpunan f disebut medan $\sigma$ [sigma] jika $0$ adalah anggota dari f, tertutup terhadap operasi gabungan takhingga, dan f tertutup terhadap operasi komplemen.

Misalkan $\Omega =\mathbb{R}$ dan f adalah himpunan semua selang terbuka di R. Jika $\beta \subseteq f$ sehingga B  adalah suatu medan $\sigma$, maka B disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel.

Aksioma Peluang
Suatu ukuran peluang P pada $(\Omega ,f)$ adalah suatu fungsi P : f ---> [0,1] yang memenuhi syarat-syarat berikut ini :
1. Untuk setiap kejadian A berlaku $0\leq P(A)\leq 1$
2. $P(\Omega )=1$
3. Jika $A_{1},A_{2},A_{3},.....\in f$ adalah barisan kejadian-kejadian yang saling lepas yaitu $A_{i}\cap A_{i}=0$ untuk setiap pasangan i,j dengan i # j, maka:
$P\begin{pmatrix} \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{\infty }P(A_{i})$

Pasangan $(\Omega ,f,P)$ disebut dengan ruang peluang.

Aksioma peluang diatas merupakan aturan-aturan yang harus dipatuhi agar $\Omega$ dan P memenuhi syarat sebagai suatu model peluang.

Misalkan $\Omega$ adalah ruang contoh suatu percobaan, serta E dan F adalah dua kejadian. Kita sebut E dan F memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi jika P(E) = P(F).

Jangan Lupa, Baca Juga
Contoh Soal + Jawabannya - Peluang Matematika  

Berikut ini merupakan akibat dari aksioma perluang di atas: 
PERTAMA. Peluang dari himpunan kosong adalah 0, $p(0 )=0$. Peluang dari himpunan kosong disebut juga dengan kejadian mustahil.

KEDUA. Jika $\begin{Bmatrix} A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n} \end{Bmatrix}$ adalah himpunan kejadian-kejadian lepas, maka:
$P\begin{pmatrix} \bigcup_{i=1}^{n} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})$

KETIGA. Jika ruang contoh terdiri atas N titik contoh yang masing-masing berpeluang sama untuk terjadi, serta kejadian A terdiri atas N(A) unsur, maka:
P(A) = N(A) / N

KEEMPAT. Untuk sembarang kejadian E, maka:
$P(E^{c})=1-P(E)$

KELIMA. Jika $E\subseteq F$ maka:
$P(F\E)=P(F\cap E^{C})=P(F)-P(E)$

KEENAM. Jika $E\subseteq F$ maka P(E) $\leq$ P(F)

KETUJUH. $P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F)$

KEDELAPAN.
$P(E)=P(E\cap F)+P(E\cap F^{C})$

Demikian rangkuman mengenai peluang matematika.

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar