Skip to main content

Rangkuman Metode Minor-Kofator dan Sarrus Untuk Menentukan Determinan Matriks Dan Beberapa Sifat Determinan


Determinan matriks segi A, diberi notasi det(A) atau |A|, didefinisikan sebagai bilangan real yang diperoleh melalui aturan tertentu [aturan tersebut dikenal sebagai suatu pemetaan.

Untuk matriks berordo 1x1, determinannya didefinisikan sebagai berikut.

Jika matriks A berukuran (ordo) 1x1, yaitu

A = $\mathbf{(a_{11})}$
Maka det (A) = |A| = $\mathbf{a_{11}}$

Untuk matriks berukuran 2x2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.

Jika matriks $\mathbf{A}_{2\times 2}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ maka det(A) = + a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁

Pada matriks segi $\mathbf{A}_{2\times 2}$, dengan elemen-elemen a₁₁, a₂₂, a₁₂ dan a₂₁, dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁). Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2x2.

Untuk matriks berukuran 2x2, determinannya didefinisikan sebagai berikut.

Jika matriks A berordo 3x3 $\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$
Maka det(A) = (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) - (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂) 
Metode ini dikenal dengan metode Sarrus.
Metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk matriks berukuran 3x3. Perhitungan determinan matriks dengan ukuran lebih besar akan cukup rumit apabila di kerjakan dengan metode Sarrus. Salah satu cara menentukan determinan suatu matriks adalah dengan metode minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Caranya akan dijelaskan sebagai berikut ini.

Misalkan $\mathbf{A}_{ij}$ adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks $\mathbf{A}_{n\times n}$ Didefinisika:

  1. Minor elemen $\mathbf{a}_{ij}$, diberi notasi $\mathbf{M}_{ij}$, adalah $mathbf{M}_{ij}$= det($mathbf{a}_{ij}$)
  2. Kofaktor elemen $\mathbf{a}_{ij}$, diberi notasi $\mathbf{a}_{ij}$, adalah $\mathbf{a}_{ij}$ = $(-1)^{i+j}\mathbf{M}_{ij}$

Misalkan matriks $A=(a_{ij})_{n\times n}$ dan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$, maka
  1. det(A) = $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}a_{ij}$, untuk sembarang i (i = 1, 2, ...., n)
  2. det(A) = $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}a_{ij}$, untuk sembarang j (j = 1, 2, ...., n)

Beberapa Sifat Determinan
1.    Jika matriks A memiliki suatu baris atau kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) = 0
Contohnya:
$\begin{pmatrix} 1 &5 &9 \\ 0 &0 &0 \\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix}$
Karena ada baris [yaitu baris ke dua] yang semua elemennya nol.
$\begin{pmatrix} 0 &5 &9 \\ 0 &1 &2 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix}$

Karena ada kolom [yaitu kolom ke satu] yang semua elemennya nol.

Jangan Lupa, Baca Juga
Beberapa Sifat Dari Determinan Suatu Matriks 
Matriks - Metode Minor Kofaktor 

2. Jika ada satu barus atau kolom matriks A merupakan kelipatan dari baris atau kolom yang lain, maka det(A) = 0
Contohnya:
$\begin{pmatrix} 1 &3 &4 \\ 2 &6 &8 \\ 2 &6 & 5 \end{pmatrix}$
Karena ada baris [yaitu baris kedua] yang semua elemennya merupakan kelipatan dari baris lainnya [yaitu baris ke satu].

$\begin{pmatrix} 2 &2 &3 \\ 5 &5 &8 \\ 1 &1 & 4 \end{pmatrix}$
Karena ada kolom [yaitu kolom pertama] yang semua elemennya merupakan kelipatan dari kolom lainnya [yaitu kolom kedua].

3.Jika matriks A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian unsur-unsur diagonal utamanya
Contohnya:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &6 &8 \\ 0 &0 & 5 \end{pmatrix}=(1)(6)(5)=30$
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 5.

$\begin{pmatrix} 0 &0 &4 \\ 0 &6 &7 \\ 1 &9 & 4 \end{pmatrix}=(1)(6)(4)=24$
Karena elemen-elemen diagonal utama dari matriks tersebut adalah 1, 6 dan 4.

Sampai disini dulu yaa Gengs

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar