Skip to main content

Rangkuman, Contoh Soal dan Pembahasan - Turunan Implisit

Turunan Implisit
Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit.
Sebagai contohnya yaitu $y=3x^{2}+5x-7;y=x^{2}+\sin x$

Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini:
$\cos (x+y)+\sqrt{xy^{2}}-5x=0;y+\cos (xy^{2})+3x^{2}=5y^{2}-6$
Secara umum, fungsi f(x,y) = c, dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit. Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini:
1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x.
2. Gunakan aturan rantai
3. Tentukan dy/dx

Aturan rantai adalah sebagai berikut:
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 1:
Tentukan dy/dx jika:
1.  $y=u^{2}$  dan  $u=x^{4}$
2. $y=u^{2}$  dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.

Pembahasan:
1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:
            $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$
                   $=2u(4x^{3})=2(x^{4})(4x^{3})$

2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:
            $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$
                   $=2u\frac{du}{dx}$
   Jadi, $\frac{d}{dx}(u^{2})$ dengan u fungsi dari x secara implisit adalah $2u\frac{du}{dx}$.

Contoh Soal 2:
Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:
$x^{2}y-xy^{2}=5$

Pembahasan:
Langkah awal yang perlu dilakukan adalah ruas kanan dan ruas kiri kita turunkan terhadap x seperti berikut ini:
                                     $x^{2}y-xy^{2}=5$
                        $D_{x}(x^{2}y-xy^{2})=D_{x}(5)$
                 $D_{x}(x^{2}y)-D_{x}(xy^{2})=D_{x}(5)$
$2xy+x^{2}\frac{dy}{dx}-(1y^{2}+x2y\frac{dy}{dx})=0$
Setelah diturunkan terhadap x, maka selanjutnya yaitu buat dalam bentuk dy/dx seperti berikut:
                               $\frac{dy}{dx}(x^{2}-2xy)=y^{2}-2xy$
                                                   $\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy}$

Contoh Soal 3:
Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:
sin (x - y) = cos y

Pembahasan:
Cara pengerjaannya serupa dengan contoh soal 2. Dengan menurunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x diperoleh sebagai berikut:
                                    sin (x - y)  =   cos y
            $[\cos (x-y)]\begin{pmatrix} 1-\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}=(-\sin y)\frac{dy}{dx}$
$\cos (x-y)-\cos (x-y)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}-\sin y$
     $[-\cos (x-y)+\sin y]\frac{dy}{dx}=-\cos (x-y)$
                                              $\frac{dy}{dx}=\frac{-\cos (x-y)}{-\cos (x-y)+\sin y}$
                                                    $=\frac{\cos (x-y)}{\cos (x-y)-\sin y}$
Contoh Soal 4:
Tentukan persamaan garis singgung kurva  $x^{2}y^{2}+4xy=12y$  di titik (2 , 1).

Pembahasan:
Cara pengerjaannya pun masih sama seperti contoh-contoh sebelumnya yaitu dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan tentukan dalam bentuk dy/dx. Karena di soal diperintahkan bahwa tentukan persamaan garis singgung maka setelah menurunkan kedua ruasentukan dalam bentuk dy/dx maka selanjutnya  yaitu menentukan kemiringan garis singgung pada titik yang telah di berikan pada soal.

Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan dalam bentuk dy/dx, maka diperoleh sebagai berikut:
                                        $x^{2}y^{2}+4xy=12y$
  $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{2}y^{2}+4xy)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12y)$
$2xy^{2}+x^{2}\begin{pmatrix} 2y\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}+4y+(4x)\frac{dy}{dx}=12\frac{dy}{dx}$
                         $(2x^{2}y+4x-12)\frac{dy}{dx}=-2xy^{2}-4y$
                                                     $\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy^{2}-4y}{2x^{2}y+4x-12}$

Kemiringan garis singgung kurva di titik (2 , 1) diperoleh dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 pada persamaan dy/dx. Sehingga diperoleh sebagai berikut:
$m=\frac{-2(2)(1^{2})-4(1)}{2(2^{2})(1)+4(2)-12}=-2$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:
y - 1 = -2 (x - 2)
     y = -2 (x - 2) + 1
     y = -2x - 4 + 1
     y = -2x - 3

Demikian mengenai turunan implisit dan contoh-contohnya.
Semoga bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar