Skip to main content

Rangkuman, Contoh Soal dan Pembahasan - Limit Fungsi [Limit Searah dan Hukum Limit]

Limit Fungsi
Limit suatu fungsi menggambarkan apa yang terjadi dengan nilai-nilai fungsi f, yaitu f(x), apabila x mendekati suatu nilai a tertentu.
Perhatikan contoh soal 1  berikut.
Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x + 2. Jika x mendekati 1 maka nilai-nilai f(x) dapat dilihat pada tabel berikut:

x mendekati 1
dari arah kiri
x mendekati 1
dari arah kanan
x
0,8
0,9
0,95
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,05
1,1
f(x)
2,8
2,9
2,95
2,99
2,999
3
3,001
3,01
3,05
3,1

Dari tabel di atas terlihat bahwa x mendekati 1, tetapi x kurang dari 1 (x mendekati 1 dari arah kiri), maka nilai f(x) mendekati 3. Demikian pula bila x mendekati 1, tetapi x lebih besar dari 1 (x mendekati 1 dari arah kanan), maka f(x) juga mendekati 3. Hal seperti ini dapat dikatakan sebagai berikut:
1. "Jika x mendekati 1, tetapi x tidak sama dengan 1 maka nilai f(x) mendekati 3" atau
2. "Limit dari f(x) jika x mendekati 1 adalah 3"
Pernyataan seperti di atas biasanya dituliskan dengan lebih ringkas sebagai berikut:
$\lim_{x\rightarrow1} f(x)=3$
Misalkan fungsi f terdefinisikan pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis
$\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L$apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi a.

Catatan
1. Notasi lain untuk limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L adalah f(x) --> L, bila x -->a
2. Fungsi f tidak harus terdefinisi  di a
3. Jika f terdefinisi di a, f(a) tidak harus sama dengan L

Contoh Soal 2:
Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai berikut:
$f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$

maka f(x) = x + 2, jika x # 1

Perhatikan bahwa:
1. f(1) tidak terdefinisikan.
2. Jika x mendekati 1, tetapi x # 1, maka dari tabel di atas terlihat pula bahwa f(x) mendekati 3.
3. $\lim_{x\rightarrow1}f(x)=3$

Contoh berikut ini memperlihatkan bahwa limit fungsi mungkin tidak ada.
Contoh Soal 3
Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 1/x , x # 0. Perhatikan nilai-nilai f(x) jika x mendekati 0 pada tabel berikut:
x < 0
f(x)
x > 0
f(x)
-2
-1/2
2
½
-1
-1
1
1
-1/2
-2
1/2
2
-1/4
-4
1/4
4
-0,1
-10
0,1
10
-0,01
-100
0,01
100
-0,001
-1000
0,001
1000
-0,0001
-10000
0,0001
10000
 Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa:
1. Jika x mendekati 0 dari arah kiri, maka f(x) semakin membesar negatif [dengan kata lain mengecil]
2. Bila x mendekati 0 dari arah kanan, maka f(x) semakin membesar positif.
3. Tidak dapat ditentukan suatu nilai tertentu yang dituju oleh f(x).
4. Dikatakan bahwa  $\lim_{x\rightarrow0}f(x)$ tidak ada.

Dari contoh-contoh di atas dapat dilihat bahwa:
1. Limit suatu fungsi pada suatu bilangan tidak selalu sama dengan nilai fungsi pada bilangan tersebut.
2. Mungkin saja terjadi bahwa $\lim_{x\rightarrow0}f(x)$ ada sedangkan f(c) tidak terdefinisi.
    Dengan kata lain, jika kita ingin menentukan limit f(x) jika x mendekati c, maka tidak perlu  dipermasalahkan apakah f(c) ada atau tidak ada.

Kasus-kasus Limit yang Sama
Kasus 1
Kasus 2
Kasus 3
f(a) = L                 
f(a) # L
f(a) tidak diketahui
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

ketiga kasus di atas ini memberikan limit yang sama yaitu $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

Limit Searah
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f(x) ketika x mendekati a (atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, dapat dituliskan sebagai berikut:
$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L$
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a.
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (b,a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f(x) ketika x mendekati a (atau limit f(x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, dapat dituliskan sebagai berikut:
$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L$
apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a.

Hubungan limit disuatu titik dengan limit satu sisi
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)$

Contoh Soal 4
Diketahui fungsi f yang didefinisikan sebagai $f(x)=\sqrt{x},x\geq 0$. Tentukan $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ bila ada.

Pembahasan
Fungsi akar kuadrat terdefinisi untuk $x\geq 0$, sehingga $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=0$  tetapi $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)$ tidak ada. Dengan demikian $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$tidak ada.

Hukum Limit
Pada bagian hukum limit ini akan dibahas mengenai sifat-sifat limit yang dapat digunakan untuk menghitung limit suatu fungsi, yang disebut Hukum Limit.

Misalkan c adalah konstanta, n adalah bilangan bulat positif dan kedua limit  $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ dan $\lim_{x\rightarrow a}g(x)$  ada, maka
1. $\lim_{x\rightarrow a}c=c$
2. $\lim_{x\rightarrow a}x=a$
3. $\lim_{x\rightarrow a}(cf(x))=c\lim_{x\rightarrow a}f(x)$
4. $\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x)$
5. $\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)-\lim_{x\rightarrow a}g(x)$
6. $\lim_{x\rightarrow a}(f(x).g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x).\lim_{x\rightarrow a}g(x)$
7. $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}$
8. $\lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n}$
9. $\lim_{x\rightarrow a}(f(x))^{n}=(\lim_{x\rightarrow a}f(x))^{n}$
10. $\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}={\sqrt[n]{a}}$
11. $\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}={\sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}}$

CATATAN:
Jika $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ ATAU $\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ tidak ada maka kesebelas rumus di atas tidak berlaku.

Contoh Soal 5
Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan limit berikut ini:
1. $\lim_{x\rightarrow 3}(7x+1)$
2. $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{7x+1}$

Pembahasan
1. Dengan hukum limit nomor ke-4, ke-2 dan kemudian hukum limit ke-1 diperoleh:
    $\lim_{x\rightarrow 3}(7x+1)=\lim_{x\rightarrow 3}7x+\lim_{x\rightarrow 3}1$........[Hukum limit ke-4]
                            $=7\lim_{x\rightarrow 3}x+\lim_{x\rightarrow 3}1$.......[Hukum limit ke-2]
                            =   7 x 3 + 1 ......[Hukum limit ke-1]
                            =   22
2. Dengan memperhatikan hukum limit ke-7 maka, dapat dituliskan sebagai berikut:
    $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{7x+1}=\frac{\lim_{x\rightarrow 3}2x}{\lim_{x\rightarrow 3}7x+1}$
Perhitungan diatas dapat dilanjutkan apabila penyebutnya tidak sama dengan nol . Karena pada soal sebelumnya telah diketahui bahwa penyebutnya tidak sama dengan nol, maka dapat dilanjutkan lagi seperti berikut ini:
$=\frac{\lim_{x\rightarrow 3}2x}{\lim_{x\rightarrow 3}7x+\lim_{x\rightarrow 3}1}$
$=\frac{2\lim_{x\rightarrow 3}x}{7\lim_{x\rightarrow 3}x+\lim_{x\rightarrow 3}1}$
$=\frac{2\times 3}{7\times 3+1}$
$=\frac{6}{22}$

Jika diperhatikan dua contoh diatas merupakan fungsi polinom dan fungsi yang rasional. Dengan hukum limit dapat ditunjukan bahwa substitusi langsung selalu berlaku untuk fungsi yang demikian.
Hal itu seperti pernyataan berikut ini:

Jika f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional dan a dalam daerah asal f maka:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Contoh Soal 6
Hitunglah $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ pada fungsi-fungsi f berikut ini:
(1) f(x) = 12, untuk a = 5
(2) f(x) = -2x -5, untuk a = -1
(3) $f(x)=4-3x+2x^{2}-x^{3}$, untuk a = 2

Pembahasan
(1) $\lim_{x\rightarrow 5}12=12$ ..........[Perhatikan hukum limit ke-1]
(2) Pengerjaannya serupa seperti contoh soal sebelumnya.
     $\lim_{x\rightarrow -1}(-2x-5)=\lim_{x\rightarrow -1}-2x-\lim_{x\rightarrow -1}5$
                                    $=-2\lim_{x\rightarrow -1}x-\lim_{x\rightarrow -1}5$
                                    =   -2(-1) - 5
                                    =   -3
 (3) $\lim_{x\rightarrow 2}(4-3x+2x^{2}-x^{3})=\lim_{x\rightarrow 2}4-\lim_{x\rightarrow 2}3x+\lim_{x\rightarrow 2}2x^{2}-\lim_{x\rightarrow 2}x^{3}$
                   $=\lim_{x\rightarrow 2}4-3\lim_{x\rightarrow 2}x+2\lim_{x\rightarrow 2}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 2}x^{3}$
                   $= 4-3(2)+2(2^{2})-2^{3}$
                   =   -2

Demikian rangkuman beserta contoh soalnya.
Semoga bermanfaat

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar