Skip to main content

Contoh Soal dan Pembahasan - Turunan [Dengan Menggunakan Definisi Turunan]

Apa kabar Gengs ??? Semoga sehat selalu yeee
Pada kesempatan kali ini saya akan berbagi soal plus denga pembahasannya tentang turunan. Dimana pada lima soal berikut kita akan menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi dari turunan. Untuk contoh soal tentang menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan rumus-rumus turunan dan aturan rantai, gengs dapat menyaksikannya pada postingan saya dilain kesempatan.

Langsung saja Gengs, berikut adalah lima contoh soal tersebut.

Nomor 1
Soal: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan g '(x) bila  $g(x)=x^{2}+x-2$.

Jawab:
Cara Pertama
$g'(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}$
           $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x^{2}+x-2)-0}{x-1}$
           $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$
           $=\lim_{x\rightarrow 1}(x+2)$
           =  3

Cara Kedua
$g'(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}$
           $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{[(1+h)^{2}+(1+h)-2]-0}{h}$
           $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1+2h+h^{2}+1+h-2}{h}$
           $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+3h}{h}$
           $=\lim_{h\rightarrow 0}(h+3)$
           =   3

Nomor 2
Soal: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan f '(x) jika $f(x)=2x^{2}-4x$.

Jawab:
Cara Pertama
$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
           $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h)^{2}-4(x+h)-(2x^{2}-4x)}{h}$
           $=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(2h+4x-4)}{h}$
           $=\lim_{h\rightarrow 0}(2h+4x-4)$
            =  4x - 4

Cara Kedua
$f'(x)=\lim_{c\rightarrow x}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$
           $=\lim_{c\rightarrow x}\frac{(2x^{2}-4x)-(2c^{2}-4c)}{x-c}$
           $=\lim_{c\rightarrow x}\frac{2(x^{2}-c^{2})-4(x-c)}{x-c}$
           $=\lim_{c\rightarrow x}\frac{2(x-c)[(x+c)-2]}{x-c}$
           $=\lim_{c\rightarrow x}2[(x+c)-2]$
           =   4x - 4

Nomor 3
Soal: Diketahui fungsi f dengan $f(x)=x^{2}-4$.
(a) Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan f '(1)
(b) Tentukan persamaan garis singgung kurva f di titik (1,-3)

Jawab:
(a) Diperoleh sebagai berikut ini:
                   $f'(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
                              $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x^{2}-4)-(-3)}{x-1}$
                              $=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}$
                              $=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)$
                              =   2

(b) Persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melewati (1,-3) adalah sebagai berikut:
      y - (-3) = 2( x - 1)
         y + 3 = 2x - 2
               y  = 2x - 2 - 3
                   = 2x - 5

Nomor 4
Soal: Diketahui fungsi f dengan $f(x)=\pi ^{2}+`1$. Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan   f '(0).

Jawab:
$f(x)=\pi ^{2}+`1$,  maka:
                                        $f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
                                                   $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\pi ^{2}+1)-(\pi ^{2}+1)}{x}$
                                                   $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{0}{x}=0$

Nomor 5
Soal: Tentukan f '(1) bila didefinisikan fungsi f sebagai berikut ini:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2-x^{2}; &x\leq 1 \\ 3x^{2}-2; & x> 1 \end{matrix}\right.$

Jawab:
f '(1) dari arah kiri yaitu sebagai berikut:
$=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{(2-x^{2})-1}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{(1-x)(1+x)}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(-(1+x))$
$=-(1+1)=-2$

f '(1) dari arah kanan yaitu sebagai berikut:
$=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{(3x^{2}-2)-1}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{3(x^{2}-1)}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{3(x-1)(x+1)}{x-1}$
$=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}3(x+1)$
=   6

Karena
             $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\neq \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
maka f '(1) tidak ada.

Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.
Gengs... demikian soal-soalnya

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar