Limit dan Kekontinuan - Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Tidak henti-hentinya saya terus akan memberikan contoh-contoh soal beserta cara menyelesaikannya. Kesempatan kali ini, saya akan memberikan enam (6) soal tentang limit dan kekontinuan. Sebelum berlatih mengerjakan soal-soal di bawah ini, ada baiknya jika dipelajari materinya terlebih dahulu.
Nomor 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika ada berikan alasannya.
(a). \(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)
(b). \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}\)

Jawab:
(a).   Akan diperoleh seperti berikut

\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 2}(x-1)=1\)

(b).   Karena,

\(\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &; &x\geq 0 \\ -x & ; &x< 0 \end{matrix}\right\)

maka:

\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{x}=+\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{x}=+\infty\)

sehingga,

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}=+\infty\)

Nomor 2
Diberikan fungsi f dengan

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} &; &x\leq a \\ 2x+3 & ; &x> a \end{matrix}\right.$

Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:

1. f(a)=a²
2. $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3$
3. $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}(x^{2})=a^{2}$

Agar f kontinu di x = a maka haruslah

\(a^{2}=2a+3\)

\(\Leftrightarrow a^{2}-2a-3\)

\(=0\Leftrightarrow (a-3)(a+1)=0\)

\(\Leftrightarrow a=3 ; a=-1\)

Nomor 3
Diketahui fungsi f sebagai berikut:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1 &; &x< 2 \\ 4 & ; &x=2 \\ x^{2}-1 &; & x> 2 \end{matrix}\right.$

Periksa kekontinuan f di:
(a) x = 2
(b) x = 3

Jawab:
(a) Di x = 2 diperoleh:

f(2) = 4
$\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(x+1)=3$
$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(x^{2}-1)=3$
Karena hasil limit di atas tidak sama dengan hasil dari f(2) maka f tak kontinu di x = 2

(b) Di x = 3 diperoleh:

f(3)=x²-1=3²-1=8
$\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3}(x^{2}-1)=8$
Karena hasil yang diperoleh dari perhitungan limit di atas sama dengan hasil dari f(3) maka f kontinu di x = 3

Jangan Lupa, Baca Juga
Limit dan Kekontinuan (Kalkulus)


Nomor 4
Diketahui fungsi-fungsi f dan g yang memenuhi sebagai berikut:

$\lim_{x\rightarrow 1}(2-f(x))=1$

$\lim_{x\rightarrow 1}(f+g)(x)=20$

Tentukan: $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)$

Jawab:
Dengan menggunakan hukum-hukum limit, akan diperoleh sebagai berikut.
\(\lim_{x\rightarrow 1}(2-f(x))=1\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}2-\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1\)

\(\Leftrightarrow 2-\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1\)

\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1\)
sehingga,
\(\lim_{x\rightarrow 1}(f+g)(x)=20\)

\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}(f(x)+g(x))=20\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}f(x)+\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=20\)

\(\Leftrightarrow 1+\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=20\)

\(\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=19\)


Nomor 5
Jika ada, tentukan limitnya; jika tidak ada, berikan alasannya.
(a)  $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+6x-27}{x^{2}-6}$
(b)  $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ dengan

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -1 &; &0\leq x< 1 \\ 0& ; & 1< x< 2 \end{matrix}\right.$

Jawab:
(a)  Akan diperoleh seperti berikut.
\(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}+6x-27}{x^{2}-6}\)

\(= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+9)}{(x-3)(x+3)}\)

\(= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+9)}{(x+3)}\)

\(=\frac{3+9}{3+3}=2\)

(b) Akan diperoleh:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -1 &; &0\leq x< 1 \\ 0& ; & 1< x< 2 \end{matrix}\right.$

Akan dicari limit kiri dan limit kanan.
Limit kiri:
$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(-1)=-1$

Limit kanan:
$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}0=0$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka  $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ tidak ada.


Ingin berlatih soal tentang limit lebih banyak, silahkan klik di bawah ini
Contoh Soal dan Jawaban - Limit, Kekontinuan dan Teorema Apit  


Nomor 6
Tanpa menggunakan aturan l'Hopital, maka hitunglah.
(a)   $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}})$
(b)   $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}$


Jawab:
(a) Akan diperoleh seperti di bawah ini.

\(\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}})\)

\(=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})\)

\(=\lim_{x\rightarrow 0}0=0\)

(b) Akan diperoleh.
\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)}\)

\(=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)(\sqrt{x}+1)=4\)

Selamat mencoba Gengs..