Skip to main content

Contoh Soal dan Jawaban - Turunan, Laju Yang Terkait

Mathematics
Pada kesempatan kali ini, saya ada memberikan lima contoh soal dan jawabannya tentang turunan laju terkait.

Nomor 1

Soal: Sebuah tempat air berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari alas 60 cm dan tinggi 100 cm diisi dengan laju 25 cm^3/detik
a.  Tentukan laju perubahan tinggi air pada saat tingginya  25 cm !
b.  Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tempat tersebut hingga penuh?
Jawab a :
Misalkan:
 r adalah jari-jari permukaan air,
h adalah ketinggian air, dan
V adalah volume air dalam kerucut
Sehingga diperoleh :
V = (1/3).π.r^2.h
Hubungan antara r dan h diberikan oleh:
(60/100) = (r/h)
             r = (60h/100) <=> r = (3h/5)
Dengan demikian :
V = (1/3) . π . (3h/5)^2 . h = (9/25) . π . h^3
Sehingga :
dV       9                     dh
----- =  ---- (π . h^2)  ------
dt        25                   dt

dh        25       dV/dt
---- = ------  --------------
dt         9       π 25^2

Pada saat h = 25 cm diperoleh :
(dh/dt) = (25/9) . (25/(π . 25^2)) = (1/9π) cm/detik

Jawab b :
Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tempat tersebut hingga penuh :
         volume kerucut            (1/3) . π . 60^2 . 100
dt = ----------------------- = ----------------------------  = 4800π detik = 800π menit
         laju pengisian                         25     


Nomor 2

Soal: Seseorang mengisi sebuah tabung berdiameter 10 cm dan tinggi 8 cm dengan laju tetap 30 cm^3/detik. Tanpa disadari, tabung yang dia gunakan bocor,  sehingga air keluar dari tabung dengan laju tetap 5 cm^3/detik
a.  Hitunglah laju bertambahnya ketinggian permukaan air di tabung pada saat ketinggian air 4 cm!
b.  Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tabung tersebut dari keadaan kosong hingga penuh? 

Diketahui diameter tabung 10 cm sehingga jari-jari alas tabung adalah 5 cm

Jawab a:
Misalkah
h adalah tinggi permukaan air di dalam tabung [dalam cm]
V adalah volume air dalam tabung [dalam cm^3]

Laju yang diketahui:
dV/dt = (30-5) = 25 cm^3/detik

V = π . 5^2 . h = 25πh (karena r = 5 konstan)
dV/dt = 25π (dh/dt)
Sehingga pada saat h = 4 cm berlaku:
25 = 25π (dh/dt) <==> dh/dt = 1/π cm/detik

Jawab b:
Diketahui tinggi tabung adalah 8 cm dan laju naiknya tinggi permukaan air adalah 1/π cm/detik, sehingga agar tabung penuh diperlukan waktu 8π detik

Nomor  3

Soal: Spongbob adalah makhluk laut yang berbentuk balok. Jika ada di daratan, Spongbob mampu minum [menyerap] air dengan laju 3 cm^3/detik. Bersamaan dengan itu, badannya membesar dengan bentuk dan perbandingan panjang, lebar dan tebalnya tetap. Jika diketahui ukuran panjang 2 cm,  lebar 2 cm dan tebalnya 1 cm. Maka tentukan laju perubahan luas tubuh Spongbob pada waktu tebal tubuhnya 2 cm.

Jawab:
Misalkan:
t : waktu dalam detik,
p(t) : panjang tubuh Spongbob pada waktu t,
l(t) : lebar tubuh Spongbob pada waktu t,
h(t) : tebal tubung Spongbob pada waktu t,
V(t) : volume air yang masuk ke dalam tubuh Spongbob pada saat t,
L(t) : luas permukaan tubuh Spongbob pada saat t,

Diketahui:
dV(t)/dt = 3 cm^3/detik
p(t) : l(t) : h(t) = 2 : 2 : 1  ===> p(t) = l(t) = 2h(t)
Ditanyakan : dL(t)/dt pada saat h = 2

Karena tubuh Spongbob berbentuk balok, maka:
V = plh = (2h)(2h)h = 4h^3
dV/dt = 12 . h^2 . dh/dt
    3     = 12. h^2 . dh/dt  ===> dh/dt = 1/4 h^2
Luas permukaan :
L = 2pl + 2hl + 2ph
    = 2(2h)(2h)  + 2h(2h) + 2(2h)h = 16 h^2
dL/dt = 32 dh/dt = 32h (1/4  h^2) = 8/h
Pada saat h = 2, dL/dt = 4 cm^2/detik

Nomor 4

Soal: Dua mahasiswa Sinta dan Jojo berdiri terpisah dengan Jojo berada 30 meter di sebelah timur Sinta. Sinta kemudian bersepeda ke utara dengan kecepatan 5 meter/detik dan 5 menit kemudian Jojo bersepeda ke selatan dengan kecepatan 3 meter/detik. Berapa jauh perubahan jarak antara keduanya 10 menit setelah Sinta mulai mengayuh sepeda?

Jawab:
Misalnya:
g(t) adalah jarak yang sudah ditempuh Sinta pada saat t,
k(t) adalah jarak yang sudah ditempuh Jojo pada saat t,
z(t) adalah jarak antara Sinta dan Jojo pada saat t,

Diketahui:
dg/dt = 5 meter/detik
dk/dt = 3 meter/detik
Yang ditanyakan: dz/dt pada saat Sinta sudah bersepeda selama 10 menit [atau selama Jojo bersepeda selama 10 - 5 = 5 menit]

Menurut Teotema Phytagoras, hubungan antara g, k dan z diberikan oleh:
z^2 = (g + k) ^2 + 30^2    <====>    2z dz/dt = 2(g + k) (dg/dt + dk/dt)
                                            <====>    dz/dt = (g + k)/z (dg/dt + dk/dt)
Jarak yang ditempuh Sinta setelah bersepeda selama 10 menit:
g = 5 . (10 . 60) = 3000 meter

Jarak yang ditempuh Jojo setelah bersepeda selama 5 menit:
k = 3 . (5 . 60) = 900 meter
Pada saat g = 3000 meter dan k = 900  meter,  diperoleh:
z = √( (g + k)^2 + 30^2 ) = √( (3000 + 900)^2 + 30^2 ) = 30√16901
Sehingga,
dz/dt = (g + k)/z (dg/dt +dk/dt)
          = (3000 + 900)/(30√16901) . (5 + 3) = 8 meter/detik

Nomor 5

Soal: Ketika sedang menyaksikan suatu pameran kedirgantaraan, Mr Rate melihat sebuah pesawat tempur (P)  melintas lurus di depannya dengan laju 500 km/jam. Jarak terdekat lintasan pesawat tersebut terhadap penonton  (Mr Rate, R)  adalah 0,5 km.
a.  Tentukan laju sudut pandang penonton pesawat dari garis lurus yang tegak lurus terhadap lintasan pesawat ($\theta$)  terhadap waktu t, yaitu d$\theta$/dt, sebagai fungsi dari $\theta$.
b.  Tentukan nilai maksimum dari d$\theta$/dt


Jawab a :
Misalkan:
x adalah jarak yang ditempuh pesawat dari titik yang berada tepat 0,5 km di ayar R,  maka:
tan $\theta$ = x/0,5 =2x
Jika kedua ruas diturunkan terhadap t, akan diperoleh:
Sec^2 $\theta$ d$\theta$/dt = 2 dx/dt = 2 (500) = 1000
          d$\theta$/dt      = (1000/sec^2) = 1000 cos^2 $\theta$

Jawab b :
Karena nilai maksimum dari  cos^2 $\theta$ adalah 1 maka nilai maksimum dari d$\theta$/dt adalah 1000(1) = 1000 rad/jam

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar