Skip to main content

Terapan Turunan - Nilai Maksimum dan Minimum Dan Turunan dan Bentuk Grafik

Mathematics

Nilai Maksimum dan Minimum

Beberapa Aplikasi Turunan
  1. Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi
  2. Formasi, lokasi, dan warna pelangi
  3. Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik
  4. Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan energi dari jantung

Nilai Ekstrim Fungsi

Nilai Ekstrim terdiri dari:
1. Ektrim Mutlak, terdiri dari:
     a. Maksimum Mutlak
     b. Minimum Mutlak
2.  Ekstrim Likal, terdiri dari:
     a. Maksimum Lokal
     b. Minimum Lokal

Nilai Maksimum dan Minimum

Definisi Maksimum Mutlak dan Minimum Mutlak

Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal $D_{f}$
  • 1. f memiliki maksimum mutlak di c anggota di $D_{f}$ jika $f(c)\geq f(x)$ untuk setiap x anggota di  $D_{f}$, f(c) disebut nilai maksimum f pada $D_{f}$
  • 2. f memiliki minimum mutlak di c anggota di $D_{f}$ jika $f(c)\leq f(x)$untuk setiap x anggota di $f(c)\leq f(x)$, f(c) disebut nilai minimum f pada $D_{f}$
  • 3. Nilai maksimum atau minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f
Lihat ilustrasi gambar berikut:
(Nilai Ekstrim)

Mathematics
Syarat Cukup Nilai Ekstrim

Teorema Nilai Ekstrem
Jika f kontinu pada interval tertutup [a , b] , maka f mencapai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a , b]
1.  Jika f kontinu pada [a , b] , maka f memiliki minimum mutlak dan maksimum mutlak
2.  Jika f tidak kontinu pada [a , b] , maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.

Lihat ilustrasi gambar berikut:
Nilai Ekstrim (Fungsi Kontinu)
Mathematics

Maksimum Lokal dan Minimum Lokal

Definisi dari Maksimum Lokal, Minimum Lokal
1)  Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di
c anggota di $D_{f}$ jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga
$f(c)\geq f(x)$ untuk setiap x anggota di $(a,b)\cap D_{f}$.
2)  Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di
c anggota di $D_{f}$ jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga
$f(c)\leq f(x)$ untuk setiap x anggota di $(a,b)\cap D_{f}$.
3)  Nilai maksimum atau nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .
Lihat ilustrasi Ekstrim Lokal
Mathematics
Bilangan Kritis

Definisi Bilangan Kritis
1. Titik c anggota di $D_{f}$ sehingga f '(c) = 0 disebut titik stasioner.
2. Titik c anggota di $D_{f}$ sehingga f '(c) tidak ada disebut titik singular.
3. Titik c anggota di $D_{f}$ yang termasuk salah satu dari titik ujung, titik stasioner, dan titik singular disebut bilangan (titik) kritis fungsi f .

Teorema Fermat
Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f .

  1. Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f
  2. Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukan bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.
  3. Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakan nilai ekstrim lokal.
  4. Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik ujung, titik stasioner, atau titik singular. 
Ilustrasi, Kapan Terjadi Ekstrim Mutlak
Mathematics

Menentukan Ekstrim Mutlak (dengan metode selang tertutup)

Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] . Nilai maksimum/minimum mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara:
  1. Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada [a, b] (titik ujung, titik stasioner, titik singular)
  2. Evaluasi f pada setiap bilangan kritis. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlak fungsi f .

Teorema Nilai Rataan (TNR)

Teorema Nilai Rataan
Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut:
i) kontinu pada interval tertutup [a, b] ,
ii) terturunkan pada interval terbuka (a, b) , maka ada sedikitnya satu bilangan c 2 (a, b) sehingga
                                                                             f(b) - f(a)
                                                                f '(c) = -----------
                                                                               b - a

Turunan dan Bentuk Grafik

Definisi
Andaikan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun).
1. f naik pada I, x1 < x2 ---> f(x1) < f(x2), untuk setiap x1, x2 anggota di I
2. f turun pada I, x1 < x2 ---> f(x1) > f(x2), untuk setiap x1, x2 anggota di I

lihat ilustrasi gambar berikut:
Mathematics
Turunan I dan Fungsi Naik/Turun

Teorema
Andaikan f kontinu pada interval I dan terturunkan pada setiap titik-dalam dari I.
1. Jika f '(x) > 0 untuk setiap x titik dalam I, maka f naik pada I.
2. Jika f '(x) < 0 untuk setiap x titik dalam I, maka f turun pada I.
Lihat ilustrasi gambar berikut:
Mathematics

Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal

Teorema
Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan pada setiap titik pada interval yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerak melewati c dari kiri ke kanan:
1. Jika f ' berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal.
2. Jika f ' berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal.
3. Jika f ' tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.

Lihat ilustrasi gambar berikut:
Mathematics


Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal

Teorema
Andaikan fungsi f '' kontinu pada interval terbuka yang memuat c.
1. Jika f '(c) = 0 dan f ''(c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal.
2. Jika f '(c) = 0 dan f ''(c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal.
3. Jika f '(c) = 0 dan f ''(c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi f mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.

Lihat ilustrasi gambar berikut:
(Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal)
Mathematics
Kecekungan Fungsi

Definisi Kecekungan
Fungsi f dikatakan
1. Cekung ke atas pada interval I jika grafik f terletak di atas garis singgung pada interval I,
2. Cekung ke bawah pada interval I jika grafik f terletak dibawah garis singgung pada interval I.
Cara lain melihat kecekungan:
1. cekung ke atas pada interval terbuka I jika f ' naik pada I,
2. cekung ke bawah pada interval terbuka I jika f ' turun pada I.

Lihat ilustrasi gambar berikut:
(Kecekungan Fungsi)
Mathematics
Uji Turunan II bagi Kecekungan

Teorema
Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada interval terbuka I.
1. Jika f ''(x) > 0 untuk setiap x anggota di I, maka f ' naik pada I dan f cekung ke atas pada I,
2. Jika f ''(x) < 0 untuk setiap x anggota di I, maka f ' turun pada I dan f cekung ke bawah pada I.

Definisi Titik Belok
Titik P (c , f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c, dan f mengalami perubahan kecekungan di P.
Teorema Titik Belok
Jika titik (c , f(c)) merupakan titik belok, maka f ''(c) = 0 atau f '' tidak ada


Menentukan Titik Belok
Untuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x),
1. Hitung f ''(x) ,
2. Cari bilangan c sehingga f ''(c) = 0 atau f ''(c) tidak ada,
3. Selidiki perubahan tanda f ''(x) di c. Titik (c , f (c)) merupakan titik belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f ''(x) di c.


Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik
Mathematics

Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok

Untuk fungsi f dengan y = f (x) :
1. Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a) --> ordinat y
2. Bilangan kritis f : x = b --> absis x
3. Titik belok f : (c, f (c)) --> koordinat (x , y)

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar