Skip to main content

Contoh Soal dan Jawaban - Limit, Kekontinuan dan Teorema Apit

Mathematics

Pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan beberapa contoh soal tentang limit dan kekontinuan plus dengan jawabannya. Sebelum masuk pada contoh soal, ada baiknya jika terlebih dahulu membaca dan mengerti materinya.
Untuk membaca materinya, bisa klik Limit dan Kekontinuan
Langsung saja, berikut ini adalah contoh-contoh soal beserta jawabannya.

Bagian 1
Tentukan limit-limit berikut jika ada, jika tidak ada maka berikan alasannya.
$1. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}$
$2. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}$

Jawab:
1. Diperoleh
$\lim_{x\rightarrow2 }\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2 }\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(x-1)=1$

2. Diperoleh
Karena
 $\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &;x\geq 0 \\ -x & ;x< 0 \end{matrix}\right.$
maka:
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{100}{x}=+\infty$
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{100}{-x}=+\infty$
Sehingga:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{100}{\left | x \right |}=+\infty$

Bagian 2
Diberikan fungsi f sebagai berikut:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2} &;x\leq a \\ 2x+3 & ;x> a \end{matrix}\right.$
Tentukan nilai a sedemikian sehingga f kontinu di x = a

Jawab:
Diperoleh:
$f(a)=a^{2}$
$\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}(2x+3)=2a+3$
$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}x^{2}=a^{2}$
Agar f kontinu di x = a maka haruslah
$a^{2}=2a+3\Leftrightarrow a^{2}-2a-3 =0\Leftrightarrow (a-3)(a+1)\Leftrightarrow a=3 ; a=-1$

Bagian 3
Tentukan limit berikut ini jika ada:
$\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 25}\left ( 2001+\frac{x-25}{\sqrt{x}-5} \right )=\lim_{x\rightarrow 25}2001+\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)}{\sqrt{x}-5}.\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5}$
$=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\frac{(x-25)(\sqrt{x}+5)}{x-25}$
$=2001 +\lim_{x\rightarrow 25}\sqrt{x}+5=2001+5+5=2011$

Bagian 4
Hitunglah limit-limit berikut jika ada. Jika tidak ada, jelaskan alasannya.
a) $\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 1}(x^{11}+2009)=1+2009=2010$

b) $\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{x-1}$ tidak mempunyai limit karena $\sqrt{x-1}$ tidak terdefinisi di x < 1.

c) $\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}$

Jawab:
$\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{4+x-x^{2}}{2+x}=\lim_{x\rightarrow -2^{+}}(3-\frac{2}{x+2}-x)=-\infty$

d) $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{2-x}$

Jawab:
Misalkan $f(x)=\sqrt{2-x}$, maka f terdefinisi bila 2 - x >= 0 atau x<= 0. Dengan kata lain f tidak terdefinisi di x > 2 sehingga $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}$ tidak ada. Akibatnya $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{2-x}$ tidak ada.

Bagian 5
Diketahui:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} -2 &;-4\leq x\leq -1 \\ x-1 &;-1< x\leq 0 \\ x^{2} & x> 0 \end{matrix}\right.$
Periksa kekontinuan fungsi f di:
a) x = 0
b) x = -1

Jawab:
a) Perhatikan bahwa:
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1$
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}=0$
karena -1 # 0 maka limit $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ tidak ada. Akibatnya f tidak kontinu di x = 0.
b) Perhatikan bahwa:
$\lim_{x\rightarrow -1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(-2)=-2$
$\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{+}}(x-1)=-2$
sehingga f (-1) = -2
Karena limitnya bernilai sama yaitu -2 maka f kontinu di x = -1

Bagian 6
Teri dan Tera sedang asyik berdiskusi tentang suatu fungsi. Ada fungsi f yang kontinu di selang [-1 , 3] kecuali di x = 1. Fungsi f tidak terdefinisi di x = 1 dan f(3) = 2. Diketahui juga beberapa limit berikut:
$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=1;\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=2; \lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2$
Bantulah Teri dan Tera menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut ini:
a) tentukan f(-1) beserta alasannya
b) tentukan $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)$ beserta alasannya

Jawab:
a) f (-1) = 2 karena f kontinu(kanan) di x = -1 sehingga $\lim_{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=2=f(-1)$
b) $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2$ karena f kontinu (kiri) di x = 3 sehingga $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=2=f(3)$

Bagian 7
Diketahui fungsi f dan g kontinu di R dengan g(x)>5, untuk setiap x anggota R dan |f(x) - cos x| =< g(x) -5. Jika $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5$ maka dengan menggunakan Teorema Apit atau yang sering disebut Teorema Jepit, tentukan $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$.

Jawab:
Perhatikan bahwa:
|f(x) - cos x| =< g(x) -5
<==> - (g(x) - 5) =< f(x) - cos x =< g(x) -5
<==> 5 - g(x) + cos x =< f(x) =< g(x) - 5 + cos x
Karena $\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=5$ maka:
$\lim_{x\rightarrow 0}(5-g(x)+cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}(-g(x))+\lim_{x\rightarrow 0}5+\lim_{x\rightarrow 0}cos x=1$
$\lim_{x\rightarrow 0}(g(x)-5+cos x)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)+\lim_{x\rightarrow 0}5+\lim_{x\rightarrow 0}cos x=1$
sehingga menurut Teorema Apit $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$

Bagian 8
Dengan menggunakan Teorema Apit, hitunglah:
$\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{sin x}{x} \right |$

Jawab:
Diperoleh:
$-1\leq sin x\leq 1\Leftrightarrow 0\leq \left | sinx \right |\leq 1$
$\Leftrightarrow 0\leq \left | \frac{sin x}{x}\right |\leq \frac{1}{\left | x \right |}$
$\Leftrightarrow 0\leq x^{2} \left | \frac{sin x}{x}\right |\leq \frac{x^{2}}{\left | x \right |}$
Karena $\lim_{x\rightarrow 0}0=0$ dan
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{ x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x=0$
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{ -x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-x=0$
sehingga, $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{\left | x \right |}=0$ maka menurut Teorema Apit dapat disimpulkan bahwa:
$\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}\left | \frac{sin x}{x} \right |=0$

Bagian 9
Misalkan fungsi f memenuhi $\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq sin^{2}(x-2)$ untuk semua x adalah bilangan real. Dengan Teorema Apit tentukan $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)$

Jawab:
$\left | x^{2}f(x)+1 \right |\leq sin^{2}(x-2)$
$\Leftrightarrow -\sin ^{2}(x-2)\leq f(x)+1\leq \sin ^{2}(x-2)$
$\Leftrightarrow -sin^{2}(x-2)-1\leq x^{2}f(x)\leq \sin^{2}(x-2)-1$
$\Leftrightarrow \frac{-sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}\leq f(x)\leq \frac{sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}$
Karena
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}=-\frac{1}{4}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{sin^{2}(x-2)^{2}-1}{x^{2}}$
maka berdasarkan Teorema Apit atau Teorema Jepit diperoleh:
$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=-\frac{1}{4}$

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar