--> Skip to main content

Turunan - Turunan Fungsi, Kaitan Antara Turunan dan Kekontinuan Dan Rumus-Rumus Turunan [Part 1]

Mengapa turunan penting? 
Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkan memahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabel lain, misalnya penentuan
  1. Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb.)
  2. Biaya marjinal suatu produk.
  3. Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.
  4. Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengan dinding pembuluh
  5. Laju penyebaran informasi, gosip. 
  6. Laju peluruhan bahan radioaktif.
  
Turunan Fungsi 

Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

Definis turunan fungsi pada suatu titik
Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f'(a), adalah
Mathematics
 asalkan limit tersebut ada

Bila limit tersebut ada (bukan $\infty$ atau $-\infty$), maka fungsi f dikatakan terturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.

Perhatikan gambar (a) berikut:
Ilustrasi geometris definisi turunan pada titik.
Mathematics

Alternatif Formula Turunan

Jika pada definisi diambil x = a + h, maka diperoleh alternatif formula sebagai berikut:

Mathematics
 dapat di lihat pada gambar di atas bagian (b)


Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

  • Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garis yang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama dengan f '(a), yakni turunan f di x = a.
  • Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah y - f(a) = f '(a) (x - a)

Ilustrasi geometris persamaan garis singgung

Mathematics


Mathematics

Turunan Sebagai Fungsi

  • 1. Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan 
  • Mathematics
        dan
    Mathematics
       sehingga akan diperoleh fungsi f ' dengan
    Mathematics
     
  • 2. f ' pada turunan diatas merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama fungsi f .
  • 3. Daerah asal f', Df ' = {x : f ' (x) ada}
  • 4. Nilai f '(a) juga dapat dihitung dari turunan di atas kemudian mengevaluasi f '(x)
    untuk x = a.

Tafsiran Lain Turunan

Notasi Lain Turunan

Misalkan y = f (x).
Beberapa notasi yang menyatakan turunan f
Mathematics
Catatan: notasi dy/dx, df/dx, d/dx hanya merupakan simbol, bukan merupakan operasi pembagian.


Aplikasi Turunan [Fisika: Kecepatan sesaat]

  • Nilai f '(a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap x di x = a.
  • Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,
                            1)   Kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah
Mathematics
                             2)   Laju objek pada saat t = a adalah |f '(a) |, yakni nilai mutlak kecepatan sesaat.


Aplikasi Turunan [ Ekonomi, Demografi]

  • Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untuk menghasilkan x barang (ton),
Mathematics

           bermakna laju total biaya produksi terhadap banyaknya barang (Rp/ton). f '(x) dikenal sebagai biaya marjinal.

  • Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi penduduk Indonesia pada waktu t (tahun),
Mathematics
           bermakna laju perubahan populasi pada waktu t (orang/tahun)


Kaitan Turunan dan Kekontinuan

Tidak fungsi tidak mempunya turunan apabila, seperti gambar di bawah ini.

Mathematics

Rumus-Rumus Turunan

Rumus Turunan

Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui de.nisi turunan.

Teorema turunan fungsi
Misalkan u = f(x), v = g(x), dan c merupakan suatu konstanta. Maka:
Mathematics





Turunan Fungsi Pangkat

Teorema turunan fungsi pangkat
Jika n sembarang bilangan real, maka
Mathematics

Turunan Fungsi Sesepenggal

Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsi sesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisi turunan.

Teorema [Turunan fungsi sesepenggal]
Andaika f kontinu di a serta $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)$ dan $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)$ ada. Fungsi f terturunkan di a jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)$ = $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)$ dan $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)$

Turunan Fungsi Trigonometri

Limit penting

$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin \theta }{\theta }=1$
 $\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1-cos \theta }{\theta }=0$

Turunan Sinus Cosinus

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}sin x = cos x$
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}cos x = -sin x$


Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan dari trigonometri sebagai berikut:
Mathematics


Baca juga lanjutan tentang turunan DISINI

Semoga Bermanfaat

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar