Turunan - Turunan Fungsi, Kaitan Antara Turunan dan Kekontinuan Dan Rumus-Rumus Turunan [Part 1]

Mengapa turunan penting? 

Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkan memahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabel lain, misalnya penentuan

1. Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb.)
2. Biaya marjinal suatu produk.
3. Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.
4. Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengan dinding pembuluh
5. Laju penyebaran informasi, gosip. 
6. Laju peluruhan bahan radioaktif.

  
Turunan Fungsi 

Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

Definis turunan fungsi pada suatu titik

Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f'(a), adalah

 asalkan limit tersebut ada

Bila limit tersebut ada (bukan $\infty$ atau $-\infty$), maka fungsi f dikatakan terturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.

Perhatikan gambar (a) berikut:
Ilustrasi geometris definisi turunan pada titik.

Alternatif Formula Turunan
Jika pada definisi diambil x = a + h, maka diperoleh alternatif formula sebagai berikut:

 dapat di lihat pada gambar di atas bagian (b)


Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

• Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garis yang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama dengan f '(a), yakni turunan f di x = a.

• Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah y - f(a) = f '(a) (x - a)

Ilustrasi geometris persamaan garis singgung

Turunan Sebagai Fungsi

• 1. Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan 
• 
      dan
  
     sehingga akan diperoleh fungsi f ' dengan
  
   
• 2. f ' pada turunan diatas merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertama fungsi f .

• 3. Daerah asal f', Df ' = {x : f ' (x) ada}

• 4. Nilai f '(a) juga dapat dihitung dari turunan di atas kemudian mengevaluasi f '(x)
  untuk x = a.

Tafsiran Lain Turunan

Notasi Lain Turunan

Misalkan y = f (x).
Beberapa notasi yang menyatakan turunan f

Catatan: notasi dy/dx, df/dx, d/dx hanya merupakan simbol, bukan merupakan operasi pembagian.


Aplikasi Turunan [Fisika: Kecepatan sesaat]

• Nilai f '(a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadap x di x = a.

• Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktu t,

                            1)   Kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah

                             2)   Laju objek pada saat t = a adalah |f '(a) |, yakni nilai mutlak kecepatan sesaat.


Aplikasi Turunan [ Ekonomi, Demografi]

• Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untuk menghasilkan x barang (ton),

           bermakna laju total biaya produksi terhadap banyaknya barang (Rp/ton). f '(x) dikenal sebagai biaya marjinal.

• Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi penduduk Indonesia pada waktu t (tahun),

           bermakna laju perubahan populasi pada waktu t (orang/tahun)


Kaitan Turunan dan Kekontinuan
Tidak fungsi tidak mempunya turunan apabila, seperti gambar di bawah ini.

Rumus-Rumus Turunan

Rumus Turunan

Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui de.nisi turunan.

Teorema turunan fungsi
Misalkan u = f(x), v = g(x), dan c merupakan suatu konstanta. Maka:

Turunan Fungsi Pangkat

Teorema turunan fungsi pangkat

Jika n sembarang bilangan real, maka

Turunan Fungsi Sesepenggal

Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsi sesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisi turunan.

Teorema [Turunan fungsi sesepenggal]

Andaika f kontinu di a serta $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)$ dan $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)$ ada. Fungsi f terturunkan di a jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)$ = $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)$ dan $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a^{-}}f'(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f'(x)$

Turunan Fungsi Trigonometri

Limit penting

$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin \theta }{\theta }=1$
 $\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1-cos \theta }{\theta }=0$

Turunan Sinus Cosinus

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}sin x = cos x$
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}cos x = -sin x$


Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan dari trigonometri sebagai berikut:

Baca juga lanjutan tentang turunan DISINI