Turunan - Aturan Rantai, Turunan Implisit, Turunan Tingkat Tinggi dan Laju Terkait ( Part 2) Skip to main content

Turunan - Aturan Rantai, Turunan Implisit, Turunan Tingkat Tinggi dan Laju Terkait ( Part 2)

Mathematics
Aturan Rantai

Misalkan ingin ditentukan $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ bagi y=(x^{2}-3x)^{2}.
Teknik penyelesaian
1. Kuadratkan, karena bentuknya masih sederhana:
    $(x^{2}-3x)(x^{2}-3x)= x^{4}-6x^{3}+9x^{2}$
    sehingga, $y= x^{4}-6x^{3}+9x^{2}$
                     $y= 4x^{3}-18x^{2}+18x$ 

2. Pemisahan variabel baru:
misalkan: $y= u^{2}, u=x^{2}-3x$

sehingga,
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}=2u , \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=2x-3$
maka,
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} =2u(2x-3)=2(x^{2}-3x)(2x-3)=(2x^{2}-6x)(2x-3)$
dengan demikian akan diperoleh:
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=4x^{3}-18x^{2}+18x$
hasil akhir yang diperoleh sama dengan cara 1

Catatan:
Apabila persamaannya sederhana, kita dapat menggunakan teknik 1. Namun apabila persamaannya seperti $(x^{2}+3x)^{2016}$ maka akan rumit dalam mencari $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ namun akan efisien jika menggunakan ke 2. Teknik ke 2 disebut juga dengan aturan rantai.

Teorema (Aturan rantai)
Misalkan f(u) terturunkan di u=g(x) dan g(x) terturunkan di x, maka fungsi komposit (f o g) (x) terturunkan di x dan (f o g)' (x) = f ' (g(x))g'(x)
Dengan notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$


Berikut diberikan Ilustrasi Aturan Rantai (komposisi dua fungsi)
Mathematics

Berikut diberikan Ilustrasi Aturan Rantai (komposisinya lebih dari dua fungsi)

Mathematics



Turunan Implisit

Fungsi Eksplisit : $y=f(x))$
contohnya, $y= 2x-1 , y=\sqrt{1-x^{2}}$

Fungsi Implisit: $F(x,y)=c$. Dengan c (konstanta) dan dengan asumsi y fungsi terhadap x
Contohnya:
$y-2x-1=0$
$x^{2}+y^{2}=1$
$sin(xy)+2x^{2}=3$

Langkah-langkah menurunkan fungsi implisit:
1. Turunkan kedua ruasnya terhadap x
2. Gunakan aturan rantai
3. Kemudian tentukan $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$

Turunan Fungsi Pangkat Rasional

Teorema

Misalkan p, q adalah bilangan bulat,
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{p/q}=\frac{p}{q}x^{p/q-1}, q\neq 0$

Turunan Tingkat Tinggi


$\frac{\mathrm{d} ^{n}y}{\mathrm{d} x^{n}}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\mathrm{d} ^{n-1}y}{\mathrm{d} x^{n-1}} \right )$


Mathematics

Aplikasi Turunan Kedua dalam Penentuan Percepatan

Jika s = f(t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerak pada garis lurus, maka:

  • $v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=f'(t)$ menyatakan kecepatan objek pada waktu t
  • $a(t)=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} ^{2}s}{\mathrm{d} t^{2}}=f''(t)$ menyatakan percepatan objek pada waktu t


Laju Terkait

Mathematics

Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabel bergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabel dapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.

Makna dari tanda laju:

Misalkan:
$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}> 0$
apabila t membesar maka x membesar
apabila t mengecil maka x mengecil

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}< 0$
apabila t membesar maka x  mengecil
apabila t mengecil maka x membesar

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=0$
maka x-nya konstan


Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait
  • Pahami permasalahan.
  • Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yang merupakan fungsi terhadap waktu
  • Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.
  • Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.
  • Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.
  • Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar