Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi Skip to main content

Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi


Transpos suatu Matriks

Transpos dari suatu matriks A, ditulis $A^{T}$, adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari A menjadi kolom, atau mengganti setiap kolom dari A menjadi baris. sehingga, jika $A=(a_{ij})_{mxn}$, maka $A^{T}=(a_{ij})_{nxm}$, seperti berikut:

$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{21} &. &. &. &a_{m1} \\ a_{12} &a_{22} &. &. &. &a_{m2} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &. \\ . &. & & &. &. \\ a_{1n} &a_{2n} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}$

Jika matriks A berukuran m x n , maka matriks $A^{T}$ berukuran n x m

Sifat-sifat Matriks Transpose



  •  $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
  •  $(kA^{T})=kA^{T}$, untuk suatu matriks skalar k
  • $(A^{T})^{T}=A$
  • $(AB^{T})=B^{T}A^{T}$

    Contoh:


  • $A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix} , C=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}$
    Jika mungkin selesaikan operasi matriks berikut ini:
    1. 3A - 2B
    2. $(CA^{T})$
    3. ABC

    Jawab:

    1. 3A - 2B

         $3\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 5 &6 &7 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 6 &4 &5 \\ 3 &4 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &6 &9 \\ 15 &18 &21 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 12 &8 &10 \\ 6 &8 & 6 \end{pmatrix}$
           $=\begin{pmatrix} -9 &-2 &-1 \\ 9& 10 & 15 \end{pmatrix}$

    2. $CA^{T}=A^{T}C^{T}$ 


         $A^{T}=\begin{pmatrix} 1 &5 \\ 2 &6 \\ 3 &7 \end{pmatrix}, C^{T}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{pmatrix}$
       $A^{T}C^{T}=\begin{pmatrix} 1 &5 \\ 2 &6 \\ 3 &7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 &23 \\ 14 &30 \\ 17 &37 \end{pmatrix}$

    3. $A_{2x3}$  tidak dapat dikalikan dengan matriks $B_{2x3}$. Jadi ABC tidak dapat diselesaikan

    Determinan suatu Matriks Segi

    Determinan matriks segi A, diberi notasi det(A) atau |A|, dedefinisikan sebagai bilangan real yang diperoleh melalui aturan tertentu.

    1. Jika matriks A berukuran 1x1, yaitu
        $A=(a_{11})$
        maka det(A) = |A|= $a_{11}$

    2. Jika matriks A berukuran 2x2
        $A_{2x2}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$
        maka det(A) = $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
    Pada matriks segi $a_{11},a_{22},a_{12},a_{21}$ , dipetakan ke suatu bilangan real dengan aturan $(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})$. Aturan yang memetakan matriks segi itu dikatakan determinan matriks A yang berukuran 2x2

    3. Jika matriks A berukuran 3x3

        $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
      maka det(A)= (a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21}  a_{32}) - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{12} a_{21} a_{33} + a_{11} a_{23}  a_{32})

        Metode ini sering dikenal dengan metode Sarrus

    Contoh:
    Dengan menggunakan metode Sarrus, tentukan determinan matriks
     $A=\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 & 4 \end{pmatrix}$

    Jawab:

    Untuk memudahkan perhitungan, salinlah dua kolom pertama dari matriks ke sebelah kanan matriks menjadi

    $\begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &3 &2 \\ -2 &0 &4 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 &1\\ -1 &3\\ -2 &0 \end{matrix}$

    Determinan matriks A tersebut adalah
    |A| = [(1x3x4)+(1x2x(-2))+(2x(-1)x0)] -[ (1x(-1)x4)+(1x2x(0))+(2x3x(-2)] =24


    Semoga Bermanfaat

    Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
    Buka Komentar
    Tutup Komentar