Banyaknya baris dan kolom ini menentukan ukuran atau ordo matriks. Misalnya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka ordo matriks A adalah m x n, dengan m dan n merupakan bilangan bulat positif. Secara umum dapat ditulis matriks A = (aᵢⱼ), dengan (aᵢⱼ) adalah elemen matriks A dengan i = 1,2,...,m dan j = 1,2,...,n.
Atau matriks A dapat ditulis dalam bentuk:
Contoh:
Definisikan matriks A = (aᵢⱼ) yang berukuran 4 x 4 dengan
dengan i = 1,2,3,4 dan j = 1,2,3,4. Tentukan matriks A
Jawab
$A = \begin{pmatrix} 1 &1+2 &1+3 &1+4 \\ 0 &1 &2+3 &2+4 \\ 0 &0 &1 &3+4 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} 1 &1+2 &1+3 &1+4 \\ 0 &1 &2+3 &2+4 \\ 0 &0 &1 &3+4 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 1 &3 &4 &5 \\ 0 &1 &5 &6 \\ 0 &0 &1 &7 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$
Sub matriks dari matriks A adalah sembarang matriks yang didapatkan dengan cara menghilangkan beberapa baris atau kolom tertentu dari matriks A. Matriks A sendiri dapat dipandang sebagai sub matriks dari A.
Contoh:
Sub matriks dari matriks $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \\ \end{pmatrix}$ antara lain adalah:
$\begin{pmatrix} 1 &3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 &8 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 &5 &6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 5\\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 7 &9 \end{pmatrix},$ $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$
Bentuk Matriks Khusus
- Suatu matriks disebut matriks segi, jika banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Jika banyaknya kolom = banyaknya baris = n, maka matriks tersebut dikatakan matriks segi berordo n atau berukuran n. Sedangkan elemen elemen a₁₁, a₂₂, ... ,aₙₙ disebut elemen diagonal utama.
- Suatu matrik segi disebut matriks segitiga atas, jika elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Sedangkan matriks segitiga bawah, jika elemen di atas diagonal utama bernilai nol.
- Suatu matriks segi disebut matriks identitas, jika semua elemen diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan yang lainnya bernilai nol. Matriks identitas berukuran n, diberi notasi Iₙ.
Contoh:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &8 \\ 1 &1 &9 \end{pmatrix}$ merupakan matriks segi berordo/berukuran 3, karena banyaknya baris = banyaknya kolom = 3
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &4 &6 \\ 0 &0 &9 \end{pmatrix}$ merupakan matrik segitiga atas, karena semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.
OPERASI MATRIKS
Penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks serta perkalian dengan skalar.
Tinjau A dan B dua matriks yang berukuran sama, misalkan ukurannya m x n
$A= \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix},$
$B = \begin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &. &. &. &b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} &. &. &. &b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ b_{m1} &b_{m2} &. &. &. &b_{mn} \end{pmatrix}$
Penjumlahan dan pengurangan matrik A dan B, ditulis A\(\pm\)B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak antara matriks A dan B, yaitu:
\[A \pm B= \begin{pmatrix} a_{11}\pm b_{11} &a_{12}\pm b_{12} &. &. &. &a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21}\pm b_{21} &a_{22}\pm b_{22} &. &. &. &a_{2n}\pm b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1}\pm b_{m1} &a_{m2}\pm b_{m2} &. &. &. &a_{mn}\pm b_{mn} \end{pmatrix},\]
Penjumlahan dan pengurangan matriks tidak dapat dilakukan jika kedua matriks berbeda ukurannya.
Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, adalah matriks yang diperoleh dengan mengalihkan setiap elemen A dengan skalar k, yaitu:
\[kA = \begin{pmatrix} ka_{11} &ka_{12} &. &. &. &ka_{1n} \\ ka_{21} &ka_{22} &. &. &. &ka_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ ka_{m1} &ka_{m2} &. &. &. &ka_{mn} \end{pmatrix},\]
Contoh:
Misalkan matriks
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks berukuran sama dan k₁ k₂ skalar, maka
- ( A + B ) + C = A + ( B + C )
- A + ( -A )=O
- A + B = B + A
- k₁ ( k₁ A + k₁ B ) =
- 0A = O
Catatan: O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
Perkalian Matriks
Tinjau matriks A = (), dan B = (), dengan banyaknya kolom matrik A sama dengan banyaknya baris matriks B. Misalkan A berukuran m x p dan B berukuran p x n, maka matriks hasil kali A dan B adalah berukuran m x n yang elemen ke-ij diperoleh dari mengalikan baris ke-i dari matriks A dengan kolom ke-j dari matriks B, seperti dibawah ini.
dengan,
cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ+aᵢ₂b₂ⱼ+...+aᵢₚbₚⱼ
Contoh:
Misalkan matriks
Perhatikan, ukuran matriks A adalah 2 x 3 dan matriks B berukuran 3 x 1, sehingga matriks hasil perkalian AB berukuran 2 x 1 seperti berikut:
Hukum-Hukum pada Perkalian Matriks
- ( A B ) C = A ( B C ) Hukum assosiatif
- A ( B + C ) = A B + A C Hukum Distributif Kiri
- ( B + C ) A = B A + C A Hukum Distributif Kanan
- k ( AB ) = ( k A ) B = A ( k B) k skalar
Catatan: AB # BA
Contoh:
Misalkan matriks
maka:
$A+B = \begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}$
$3(A+B) = 3\begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$
$3A+3B = 3\begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3 &3 &9 \\ 6 &15 &3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &9 &6 \\ 3 &3 &12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3 &3 &9 \\ 6 &15 &3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &9 &6 \\ 3 &3 &12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$
dari contoh di atas dapat dilihat bahwa, 3A +3B = 3(A+B)
Semoga Bermanfaat
Post a Comment
Post a Comment