Skip to main content

Matriks - Penjumlahan/Pengurangan Dan Perkalian Dengan Skalar

Mathematics

PENDAHULUAN

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar. Pemberian nama pada matriks ditulis dengan huruf besar, misalnya A, B, C,...,Z, dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. 
Banyaknya baris dan kolom ini menentukan ukuran atau ordo matriks. Misalnya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka ordo matriks A adalah m x n, dengan m dan n merupakan bilangan bulat positif. Secara umum dapat ditulis matriks A =  $(a_{ij})$, dengan $(a_{ij})$ adalah elemen matriks A dengan i = 1,2,...,m dan j = 1,2,...,n. 

 Atau matriks A dapat ditulis dalam bentuk:










Contoh:
Definisikan matriks = $(a_{ij})$  yang berukuran 4 x 4 dengan
dengan i = 1,2,3,4 dan j = 1,2,3,4. Tentukan matriks A

Jawab
$A = \begin{pmatrix} 1 &1+2 &1+3 &1+4 \\ 0 &1 &2+3 &2+4 \\ 0 &0 &1 &3+4 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &3 &4 &5 \\ 0 &1 &5 &6 \\ 0 &0 &1 &7 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$

Submatriks dari matriks A adalah sembarang matriks yang didapatkan dengan cara menghilangkan beberapa baris atau kolom tertentu dari matriks A. Matriks A sendiri dapat dipandang sebagai submatriks dari A.

Contoh:
Submatriks dari matriks $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \\ \end{pmatrix}$ antara lain adalah: 

$\begin{pmatrix} 1 &3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 &8 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 &5 &6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ 5\\ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 7 &9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$ 
 

Bentuk Matriks Khusus
  1. Suatu matriks disebut matriks segi, jika banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Jika banyaknya kolom = banyaknya baris = n, maka matriks tersebut dikatakan matriks segi berordo n atau berukuran n. Sedangkan elemen elemen $a_{11},a_{22}, ... ,a_{nn}$ disebut elemen diagonal utama.
  2. Suatu matrik segi disebut matriks segitiga atas, jika elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Sedangkan matriks segitiga bawah, jika elemen di atas diagonal utama bernilai nol.
  3. Suatu matriks segi disebut matriks identitas, jika semua elemen diagonal utamanya bernilai satu, sedangkan yang lainnya bernilai nol. Matriks identitas berukuran n, diberi notasi $I_{n}$. 
Contoh:

 $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &8 \\ 1 &1 &9 \end{pmatrix}$ merupakan matriks segi berordo/berukuran 3, karena banyaknya baris = banyaknya kolom = 3

$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &4 &6 \\ 0 &0 &9 \end{pmatrix}$ merupakan  matrik segitiga atas, karena semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

OPERASI MATRIKS

Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Matriks serta Perkalian dengan Skalar
Tinjau A dan B dua matriks yang berukuran sama, misalkan ukurannya m x n

$A= \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &. &. &. &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &. &. &. &a_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1} &a_{m2} &. &. &. &a_{mn} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &. &. &. &b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} &. &. &. &b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ b_{m1} &b_{m2} &. &. &. &b_{mn} \end{pmatrix}$

Penjumlahan dan pengurangan matrik A dan B, ditulis AB adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkn elemen-elemen yang seletak antara matriks A dan B, yaitu:

$A \pm B= \begin{pmatrix} a_{11}\pm b_{11} &a_{12}\pm b_{12} &. &. &. &a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21}\pm b_{21} &a_{22}\pm b_{22} &. &. &. &a_{2n}\pm b_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ a_{m1}\pm b_{m1} &a_{m2}\pm b_{m2} &. &. &. &a_{mn}\pm b_{mn} \end{pmatrix},$

Penjumlahan dan pengurangan matrik tidak dapat dilakukan jika kedua matriks berbeda ukurannya.
Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, adalah matriks yang diperoleh dengan mengalihkan setiap elemen A dengan skalar k, yaitu:

$kA = \begin{pmatrix} ka_{11} &ka_{12} &. &. &. &ka_{1n} \\ ka_{21} &ka_{22} &. &. &. &ka_{2n} \\ . &. &. & & &. \\ . &. & &. & &.\\ . &. & & &. &.\\ ka_{m1} &ka_{m2} &. &. &. &ka_{mn} \end{pmatrix},$

Contoh:

Misalkan matriks






Hukum-Hukum pada Penjumlahan/Pengurangan  dan Perkalian Skalar 
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks berukuran sama dan $k_{1} k_{2}$  skalar, maka
  1. ( A + B ) + C = A + ( B + C )
  2. A + ( -A )=O
  3. A + B = B + A
  4.  $k_{1}$ ( $k_{1}$ A + $k_{1}$ B ) =
  5. 0A = O  
Catatan: O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.

Perkalian Matriks

Tinjau matriks A = (), dan B = (), dengan banyaknya kolom matrik A sama dengan banyaknya baris matriks B. Misalkan A berukuran m x p dan B berukuran p x n, maka matriks hasil kali A dan B adalah berukuran m x n yang elemen ke-ij diperoleh dari mengalikan baris ke-i dari matriks A dengan kolom ke-j dari matriks B, seperti dibawah ini.

dengan,
$c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}$ 
Contoh

Misalkan matriks





Perhatikan, ukuran matriks A adalah 2 x 3 dan matriks B berukuran 3 x 1, sehingga matriks hasil perkalian AB berukuran 2 x 1 seperti berikut:






Hukum-Hukum pada Perkalian Matriks
  1. ( A B )  C = A  ( B C )                Hukum assosiatif
  2.  A ( B + C ) = A B + A C           Hukum Distributif Kiri
  3. ( B + C ) A = B A + C A            Hukum Distributif Kanan
  4. k ( AB ) = ( k A ) B = A ( k B)    k skalar
Catatan: AB # BA

Contoh:
 
Misalkan matriks





maka:
$A+B = \begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}$

$3(A+B) = 3\begin{pmatrix} 1 &4 &5 \\ 3 &6 &5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$

$3A+3B = 3\begin{pmatrix} 1 &1 &3 \\ 2 &5 &1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0 &3 &2 \\ 1 &1 &4 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3 &3 &9 \\ 6 &15 &3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &9 &6 \\ 3 &3 &12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &12 &15 \\ 9 &18 &15 \end{pmatrix}$

dari contoh di atas dapat dilihat bahwa, 3A +3B = 3(A+B)

Semoga Bermanfaat
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar